1^{\circ} ) Verificar se a função dada é contínua no ponto indicado: (4,0pt)
\overrightarrow{\boldsymbol{f}}(\boldsymbol{t})=\boldsymbol{\operatorname { c o s }} \boldsymbol{t} \overrightarrow{\boldsymbol{\imath}}+\boldsymbol{t}^{2} \overrightarrow{\boldsymbol{\jmath}}-\mathbf{5} \overrightarrow{\boldsymbol{k}} é contínua em \mathbf{t}_{0}=\boldsymbol{\pi}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função vetorial
\overrightarrow{f}(t)=\cos(t)\,\mathbf{i}+t^{2}\,\mathbf{j}-5\,\mathbf{k}
é contínua no ponto t_{0}=\pi. O conteúdo aqui é a continuidade de funções vetoriais, que se checa componente a componente, usando a propriedade de que somas, funções trigonométricas e polinômios são contínuos.

Passo 2

Uma função vetorial \overrightarrow{f}(t) é contínua em t_{0} se e somente se
\lim_{t\to t_{0}}\overrightarrow{f}(t) =\overrightarrow{f}(t_{0}).

Passo 3

Calcular \overrightarrow{f}(t_{0}). Substituindo t_{0}=\pi:
\overrightarrow{f}(\pi) =\cos(\pi)\,\mathbf{i}+(\pi)^{2}\,\mathbf{j}-5\,\mathbf{k} =-1\,\mathbf{i}+\pi^{2}\,\mathbf{j}-5\,\mathbf{k}.

Passo 4

Calcular \displaystyle \lim_{t\to\pi}\overrightarrow{f}(t) componente a componente:
\lim_{t\to\pi}\cos(t) = \cos(\pi) = -1, \quad \lim_{t\to\pi}t^{2} = \pi^{2}, \quad \lim_{t\to\pi}(-5) = -5.
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\lim_{t\to\pi}\overrightarrow{f}(t) =-1\,\mathbf{i}+\pi^{2}\,\mathbf{j}-5\,\mathbf{k}.

Passo 5

Como
\lim_{t\to\pi}\overrightarrow{f}(t) =\overrightarrow{f}(\pi),
concluímos que \overrightarrow{f}(t) é contínua em t_{0}=\pi.

Resposta

A função é contínua em t_{0}=\pi.

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