Empregando questão 4 e identidade de Parseval
2 a_{0}^{2}+\sum_{1}^{\infty}\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^{2}(x) d x
mostre que
1+\frac{1}{2^{4}}+\frac{1}{3^{4}}+\cdots+\frac{1}{n^{4}}+\cdots=\frac{\pi^{4}}{90}

Passo 1

A ideia é usar a identidade de Parseval para a série de Fourier de f(x)=x^2 em [-\pi,\pi], cujos coeficientes (dados na questão 4) serão necessários. Vamos precisar de
  1. Os coeficientes a_0, a_n e b_n de x^2.
  2. A forma da identidade de Parseval
2a_0^2+\sum_{n=1}^\infty\bigl(a_n^2+b_n^2\bigr) =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f^2(x)\,dx.

Passo 2

Da expansão de Fourier de f(x)=x^2 em [-\pi,\pi] (questão 4) temos
a_0=\frac{\pi^2}{3}, \qquad a_n=\frac{4(-1)^n}{n^2}, \qquad b_n=0.

Passo 3

Escrevendo Parseval para f(x)=x^2:
2a_0^2+\sum_{n=1}^\infty\bigl(a_n^2+b_n^2\bigr) =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^4\,dx.

Passo 4

Calculemos o lado direito:
\int_{-\pi}^{\pi}x^4\,dx =2\int_{0}^{\pi}x^4\,dx =2\cdot\frac{\pi^5}{5} =\frac{2\pi^5}{5},
portanto
\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^4\,dx =\frac{2\pi^4}{5}.

Passo 5

Calculemos o lado esquerdo usando os coeficientes:
2a_0^2 =2\Bigl(\frac{\pi^2}{3}\Bigr)^{2} =\frac{2\pi^4}{9}, \qquad \sum_{n=1}^\infty a_n^2 =\sum_{n=1}^\infty\frac{16}{n^4} =16\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^4}.
Como b_n=0,
2a_0^2+\sum_{n=1}^\infty\bigl(a_n^2+b_n^2\bigr) =\frac{2\pi^4}{9} +16\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^4}.

Passo 6

Igualando os dois lados:
\frac{2\pi^4}{9} +16\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^4} =\frac{2\pi^4}{5}.
Isolando a soma,
16\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^4} =\frac{2\pi^4}{5}-\frac{2\pi^4}{9} =2\pi^4\Bigl(\frac{1}{5}-\frac{1}{9}\Bigr) =2\pi^4\cdot\frac{4}{45} =\frac{8\pi^4}{45},
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\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^4} =\frac{8\pi^4}{45\cdot16} =\frac{\pi^4}{90}.

Resposta

1+\frac{1}{2^{4}}+\frac{1}{3^{4}}+\cdots =\frac{\pi^{4}}{90}.

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