Considere que em uma colisão bidimensional, a partícula de massa m_{1}=42 g incide com velocidade \mathrm{v}_{1 \mathrm{i}}=3,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} sobre a partícula alvo, supostamente em repouso, de massa \mathrm{m}_{2}=65 \mathrm{~g} e, após a colisão, a direção de movimento de m_{1} é \theta_{1}=40^{\circ} acima da direção incidente. Utilize argumentos físicos para determinar \mathrm{p}_{1 \mathrm{f}} e \mathrm{p}_{2 \mathrm{f}}.

Passo 1

O enunciado trata de uma colisão bidimensional elástica entre uma partícula de massa m_{1}=42,g que chega com velocidade \mathrm{v}_{1\mathrm{i}}=3{,}0,m/s e uma partícula de massa m_{2}=65,g inicialmente em repouso. Após a colisão, m_{1} desvia em ângulo \theta_{1}=40^\circ acima da direção original. O que precisamos usar é: conservação do impulso vetorial em x e y e conservação da energia cinética (por ser colisão elástica) para determinar os módulos \mathrm{p}_{1\mathrm{f}} e \mathrm{p}_{2\mathrm{f}}.

Passo 2

Escrevemos o impulso inicial e final. Em SI, convertemos m_{1}=0{,}042,kg, m_{2}=0{,}065,kg e calculamos
\mathrm{p}_{1\mathrm{i}} = m_{1}\,\mathrm{v}_{1\mathrm{i}} =0{,}042\times3{,}0=0{,}126\text{ kg\cdotm/s}.
Pela conservação vetorial do impulso, na direção x e y:
\begin{cases} \mathrm{p}_{1\mathrm{i}} = \mathrm{p}_{1\mathrm{f}}\cos\theta_{1} + \mathrm{p}_{2\mathrm{f}}\cos\theta_{2},\\[6pt] 0 = \mathrm{p}_{1\mathrm{f}}\sin\theta_{1} + \mathrm{p}_{2\mathrm{f}}\sin\theta_{2}. \end{cases}]

Passo 3

Para colisão elástica, a energia cinética se conserva. Em termos dos módulos de impulso,
\frac{\mathrm{p}_{1\mathrm{i}}^{2}}{2\,m_{1}} =\frac{\mathrm{p}_{1\mathrm{f}}^{2}}{2\,m_{1}} +\frac{\mathrm{p}_{2\mathrm{f}}^{2}}{2\,m_{2}} \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{p}_{1\mathrm{i}}^{2} =\mathrm{p}_{1\mathrm{f}}^{2} +\frac{m_{1}}{m_{2}}\,\mathrm{p}_{2\mathrm{f}}^{2}.

Passo 4

Eliminamos \mathrm{p}_{2\mathrm{f}} usando
\mathrm{p}_{2\mathrm{f}}^{2} =\bigl(\mathrm{p}_{1\mathrm{i}}-\mathrm{p}_{1\mathrm{f}}\cos\theta_{1}\bigr)^{2} +\bigl(-\mathrm{p}_{1\mathrm{f}}\sin\theta_{1}\bigr)^{2} =\mathrm{p}_{1\mathrm{i}}^{2}-2\,\mathrm{p}_{1\mathrm{i}}\mathrm{p}_{1\mathrm{f}}\cos\theta_{1} +\mathrm{p}_{1\mathrm{f}}^{2},
e inserimos na equação de energia para obter um polinômio em \mathrm{p}_{1\mathrm{f}}. Isso gera a equação quadrática
(m_{1}+m_{2})\,\mathrm{p}_{1\mathrm{f}}^{2} -2\,m_{1}\,\mathrm{p}_{1\mathrm{i}}\cos\theta_{1}\,\mathrm{p}_{1\mathrm{f}} +(m_{1}-m_{2})\,\mathrm{p}_{1\mathrm{i}}^{2}=0.

Passo 5

Resolvendo a quadrática para \mathrm{p}_{1\mathrm{f}} e mantendo a raiz positiva (física), obtemos
\mathrm{p}_{1\mathrm{f}} =\frac{m_{1}\,\mathrm{p}_{1\mathrm{i}}\cos\theta_{1} +\mathrm{p}_{1\mathrm{i}}\sqrt{\,m_{2}^{2}-m_{1}^{2}\sin^{2}\theta_{1}\,}} {\,m_{1}+m_{2}\,}.
Substituindo números e \theta_{1}=40^\circ:
\mathrm{p}_{1\mathrm{f}} =\frac{0{,}042\cdot0{,}126\cdot\cos40^\circ +0{,}126\sqrt{0{,}065^{2}-0{,}042^{2}\sin^{2}40^\circ}} {0{,}042+0{,}065} \approx0{,}108\text{ kg\cdotm/s}.

Passo 6

Usamos conservação de x e y para achar \mathrm{p}_{2\mathrm{f}}. Mais rápido é usar
\mathrm{p}_{2\mathrm{f}}^{2} =\bigl(\mathrm{p}_{1\mathrm{i}}-\mathrm{p}_{1\mathrm{f}}\cos\theta_{1}\bigr)^{2} +\bigl(-\mathrm{p}_{1\mathrm{f}}\sin\theta_{1}\bigr)^{2},
que numérico dá
\mathrm{p}_{2\mathrm{f}} =\sqrt{(0{,}126-0{,}108\cos40^\circ)^{2}+(0{,}108\sin40^\circ)^{2}} \approx0{,}0817\text{ kg\cdotm/s}.

Resposta

\mathrm{p}_{1\mathrm{f}}\approx0{,}108,k g\cdot m/s \mathrm{p}_{2\mathrm{f}}\approx0{,}0817,k g\cdot m/s

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