Em uma pequena estrutura metálica, os esforços internos \left(f_{l} \mathrm{a} f_{4}\right) em Newtons dependem do equilíbrio de forças em dois nós. O sistema é dado por
\left\{\begin{array}{c} 2 f_{1}+f_{2}=105 \\\ f_{1}+3 f_{2}+2 f_{3}=30 \\\\ 2 f_{2}+2 f_{3}+f_{4}=0 \\\ f_{3}+2 f_{4}=40 \end{array}\right.
Represente o sistema na forma A X=B e determine o vetor de forças X calculando a matriz inversa \boldsymbol{A}^{\boldsymbol{-} \mathbf{1}}.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de quatro equações nas quatro incógnitas [f_{1},f_{2},f_{3},f_{4}) (esforços em N) e pede duas coisas:
  • Representar o sistema na forma \,A X = B\,.
  • Determinar o vetor de forças X calculando a matriz inversa \,A^{-1}\,.
As equações fornecidas são:
\begin{cases} 2 f_{1}+f_{2}=105\\[4pt] f_{1}+3 f_{2}+2 f_{3}=30\\[4pt] 2 f_{2}+2 f_{3}+f_{4}=0\\[4pt] f_{3}+2 f_{4}=40 \end{cases}
Os dados relevantes que temos são exatamente essas quatro equações; não há outras condições ocultas. A próxima etapa é escrever essas equações na forma matricial e calcular a inversa de A\] por eliminação de Gauss-Jordan para obter \(X=A^{-1}B.]

Passo 2

Representar o sistema na forma \,A X = B\,.
Organizando as incógnitas no vetor coluna X como
X=\begin{pmatrix}f_{1}\\[4pt] f_{2}\\[4pt] f_{3}\\[4pt] f_{4}\end{pmatrix},
as linhas das equações dão a matriz dos coeficientes A e o vetor de termos independentes B:
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 3 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}105\\[4pt]30\\[4pt]0\\[4pt]40\end{pmatrix}.
Portanto a forma matricial pedida é
A X = B.]

Passo 3

Explicar o método que vou usar para achar A^{-1} e X.
Definição útil: \,A^{-1}\, é a matriz que satisfaz \,A^{-1}A=I\, (onde I é a matriz identidade). Uma forma prática de obter A^{-1} é aplicar eliminação de Gauss-Jordan à matriz aumentada [A\,|\,I]: realizar operações elementares nas linhas até transformar o bloco esquerdo em I; o bloco direito resultante será então A^{-1}.
Operações permitidas (e por que são seguras): trocar duas linhas, multiplicar uma linha por uma constante não nula, somar a múltipla de uma linha a outra. Essas operações correspondem a multiplicar por matrizes elementares inversíveis, portanto preservam a equivalência e nos permitem obter A^{-1}.
Vou fazer isso passo a passo, mostrando cada operação e os cálculos aritméticos.

Passo 4

Montar a matriz aumentada inicial [A\,|\,I]:
\left(\begin{array}{cccc|cccc} 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 3 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).
Objetivo: reduzir o bloco esquerdo à identidade I_4.]

Passo 5

Pivot na coluna 1: tornar o elemento (1,1) igual a 1 e eliminar abaixo.
  • Dividir a primeira linha por 2: R_1 := \tfrac{1}{2}R_1.
R_1 = \bigl[1\;\; \tfrac{1}{2}\;\;0\;\;0\;|\;\tfrac{1}{2}\;0\;0\;0\bigr].
  • Eliminar o 1 na posição (2,1) com R_2 := R_2 - R_1:
R_2 = \bigl[0\;\; \tfrac{5}{2}\;\;2\;\;0\;|\;-\tfrac{1}{2}\;1\;0\;0\bigr].
As linhas 3 e 4 já têm zero na coluna 1 e ficam inalteradas neste passo.

Passo 6

Pivot na coluna 2: tornar o pivô igual a 1 e eliminar os outros elementos na coluna 2.
  • Dividir R_2 por \tfrac{5}{2} (ou multiplicar por \tfrac{2}{5}): R_2 := \tfrac{2}{5}R_2.
R_2 = \bigl[0\;\;1\;\;\tfrac{4}{5}\;\;0\;|\;-\tfrac{1}{5}\;\tfrac{2}{5}\;0\;0\bigr].
  • Eliminar o \tfrac{1}{2} na posição (1,2): R_1 := R_1 - \tfrac{1}{2}R_2.
    Cálculo do bloco direito: \tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}\cdot(-\tfrac{1}{5})=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{10}=\tfrac{3}{5}, e 0-\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{2}{5}=-\tfrac{1}{5}.
R_1 = \bigl[1\;0\;-\tfrac{2}{5}\;0\;|\;\tfrac{3}{5}\;-\tfrac{1}{5}\;0\;0\bigr].
  • Eliminar o 2 na posição (3,2): R_3 := R_3 - 2R_2.
    Cálculo do bloco direito: 0 - 2\cdot(-\tfrac{1}{5})=\tfrac{2}{5}, 0 - 2\cdot\tfrac{2}{5}=-\tfrac{4}{5}, a terceira componente fica 1.
R_3 = \bigl[0\;0\;\tfrac{2}{5}\;1\;|\;\tfrac{2}{5}\;-\tfrac{4}{5}\;1\;0\bigr].
R_4 permanece \bigl[0\;0\;1\;2\;|\;0\;0\;0\;1\bigr].

Passo 7

Pivot na coluna 3: é conveniente trocar R_3 e R_4 para obter um pivô igual a 1 (facilita contas).
  • Trocar R_3 \leftrightarrow R_4.
    Agora
R_3 = \bigl[0\;0\;1\;2\;|\;0\;0\;0\;1\bigr], \qquad R_4 = \bigl[0\;0\;\tfrac{2}{5}\;1\;|\;\tfrac{2}{5}\;-\tfrac{4}{5}\;1\;0\bigr].
  • Eliminar os outros elementos na coluna 3:
    • R_1 := R_1 + \tfrac{2}{5}R_3. O bloco direito de R_1 passa a ser \bigl[\tfrac{3}{5},-\tfrac{1}{5},0,\tfrac{2}{5}\bigr].
    • R_2 := R_2 - \tfrac{4}{5}R_3. O bloco direito de R_2 passa a ser \bigl[-\tfrac{1}{5},\tfrac{2}{5},0,-\tfrac{4}{5}\bigr].
    • R_4 := R_4 - \tfrac{2}{5}R_3. O bloco direito de R_4 passa a ser \bigl[\tfrac{2}{5},-\tfrac{4}{5},1,-\tfrac{2}{5}\bigr].
Depois dessas eliminações obtemos:
\begin{aligned} R_1 &= \bigl[1\;0\;0\;\tfrac{4}{5}\;|\;\tfrac{3}{5}\;-\tfrac{1}{5}\;0\;\tfrac{2}{5}\bigr],\\[4pt] R_2 &= \bigl[0\;1\;0\;-\tfrac{8}{5}\;|\;-\tfrac{1}{5}\;\tfrac{2}{5}\;0\;-\tfrac{4}{5}\bigr],\\[4pt] R_3 &= \bigl[0\;0\;1\;2\;|\;0\;0\;0\;1\bigr],\\[4pt] R_4 &= \bigl[0\;0\;0\;\tfrac{1}{5}\;|\;\tfrac{2}{5}\;-\tfrac{4}{5}\;1\;-\tfrac{2}{5}\bigr]. \end{aligned}]

Passo 8

Pivot na coluna 4: tornar o elemento (4,4) igual a 1 e eliminar os outros componentes na coluna 4.
  • Multiplicar R_4 por 5: R_4 := 5 R_4.
R_4 = \bigl[0\;0\;0\;1\;|\;2\;-4\;5\;-2\bigr].
  • Eliminar os outros elementos na coluna 4:
    • R_1 := R_1 - \tfrac{4}{5}R_4. Calcular o bloco direito: \bigl[\tfrac{3}{5},-\tfrac{1}{5},0,\tfrac{2}{5}\bigr] - \tfrac{4}{5}\bigl[2,-4,5,-2\bigr] = \bigl[-1,3,-4,2\bigr].
    • R_2 := R_2 + \tfrac{8}{5}R_4. Calcular o bloco direito: \bigl[-\tfrac{1}{5},\tfrac{2}{5},0,-\tfrac{4}{5}\bigr] + \tfrac{8}{5}\bigl[2,-4,5,-2\bigr] = \bigl[3,-6,8,-4\bigr].
    • R_3 := R_3 - 2 R_4. Calcular o bloco direito: \bigl[0,0,0,1\bigr] - 2\bigl[2,-4,5,-2\bigr] = \bigl[-4,8,-10,5\bigr] (associado às colunas do bloco direito).
Após essas eliminações, o bloco esquerdo é a identidade e o bloco direito é A^{-1}.

Passo 9

Ler a matriz inversa A^{-1} obtida no bloco direito final.
A inversa encontrada é
A^{-1}=\begin{pmatrix} -1 & 3 & -4 & 2\\[4pt] 3 & -6 & 8 & -4\\[4pt] -4 & 8 & -10 & 5\\[4pt] 2 & -4 & 5 & -2 \end{pmatrix}.
Breve verificação (intuitiva): as entradas são inteiras aqui porque a matriz A era bem condicionada e o processo de eliminação produziu números racionais que combinaram para dar inteiros; a consistência pode ser verificada multiplicando A^{-1}A e confirmando que dá I (pulei a multiplicação completa por economia de espaço, mas o processo de Gauss-Jordan garante a correção).]

Passo 10

Calcular o vetor de forças X = A^{-1} B.
Multiplicação A^{-1}B:
\begin{aligned} f_{1} &= (-1)\cdot105 + 3\cdot30 + (-4)\cdot0 + 2\cdot40 = -105 + 90 + 0 + 80 = 65,\\[4pt] f_{2} &= 3\cdot105 + (-6)\cdot30 + 8\cdot0 + (-4)\cdot40 = 315 - 180 + 0 - 160 = -25,\\[4pt] f_{3} &= (-4)\cdot105 + 8\cdot30 + (-10)\cdot0 + 5\cdot40 = -420 + 240 + 0 + 200 = 20,\\[4pt] f_{4} &= 2\cdot105 + (-4)\cdot30 + 5\cdot0 + (-2)\cdot40 = 210 - 120 + 0 - 80 = 10. \end{aligned}
Portanto o vetor de incógnitas é X = (65,\,-25,\,20,\,10)^{T} (em Newtons).]

Resposta

A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 3 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}
A^{-1}=\begin{pmatrix} -1 & 3 & -4 & 2\\[4pt] 3 & -6 & 8 & -4\\[4pt] -4 & 8 & -10 & 5\\[4pt] 2 & -4 & 5 & -2 \end{pmatrix}
X=\begin{pmatrix}f_{1}\\[4pt]f_{2}\\[4pt]f_{3}\\[4pt]f_{4}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}65\\[4pt]-25\\[4pt]20\\[4pt]10\end{pmatrix}]

Exercícios relacionados