Em uma pequena estrutura metálica, os esforços internos \left(f_{l} \mathrm{a} f_{4}\right) em Newtons dependem do equilíbrio de forças em dois nós. O sistema é dado por
Os dados relevantes que temos são exatamente essas quatro equações; não há outras condições ocultas. A próxima etapa é escrever essas equações na forma matricial e calcular a inversa de A\] por eliminação de Gauss-Jordan para obter \(X=A^{-1}B.]
Explicar o método que vou usar para achar A^{-1} e X.
Definição útil: \,A^{-1}\, é a matriz que satisfaz \,A^{-1}A=I\, (onde I é a matriz identidade). Uma forma prática de obter A^{-1} é aplicar eliminação de Gauss-Jordan à matriz aumentada [A\,|\,I]: realizar operações elementares nas linhas até transformar o bloco esquerdo em I; o bloco direito resultante será então A^{-1}.
Operações permitidas (e por que são seguras): trocar duas linhas, multiplicar uma linha por uma constante não nula, somar a múltipla de uma linha a outra. Essas operações correspondem a multiplicar por matrizes elementares inversíveis, portanto preservam a equivalência e nos permitem obter A^{-1}.
Vou fazer isso passo a passo, mostrando cada operação e os cálculos aritméticos.
Eliminar o \tfrac{1}{2} na posição (1,2): R_1 := R_1 - \tfrac{1}{2}R_2.
Cálculo do bloco direito: \tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}\cdot(-\tfrac{1}{5})=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{10}=\tfrac{3}{5}, e 0-\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{2}{5}=-\tfrac{1}{5}.
Eliminar o 2 na posição (3,2): R_3 := R_3 - 2R_2.
Cálculo do bloco direito: 0 - 2\cdot(-\tfrac{1}{5})=\tfrac{2}{5}, 0 - 2\cdot\tfrac{2}{5}=-\tfrac{4}{5}, a terceira componente fica 1.
Breve verificação (intuitiva): as entradas são inteiras aqui porque a matriz A era bem condicionada e o processo de eliminação produziu números racionais que combinaram para dar inteiros; a consistência pode ser verificada multiplicando A^{-1}A e confirmando que dá I (pulei a multiplicação completa por economia de espaço, mas o processo de Gauss-Jordan garante a correção).]