Em uma placa metálica quadrada, a temperatura em um ponto interno é a média dos seus quatro vizinhos. Para uma grade de 4 pontos internos ( T_{1} a T_{4} ) com bordas em diferentes temperaturas, temos o sistema
São quatro equações lineares, uma por ponto interno.
As incógnitas são T_{1},T_{2},T_{3},T_{4}.
O método exigido é Eliminação de Gauss (ou seja, transformar a matriz aumentada em forma triangular superior por operações elementares de linha e depois aplicar substituição regressiva).]
Passo 2
Vamos montar a matriz aumentada do sistema (colunas correspondem a T_{1},T_{2},T_{3},T_{4} e a última coluna é o vetor dos termos independentes):
Breve lembrete: as operações de linha permitidas (que não mudam o conjunto de soluções) são:
trocar duas linhas;
multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
somar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha.
Usaremos essas operações para zerar, coluna a coluna, os elementos abaixo dos pivôs e assim obter uma matriz triangular superior.]
Passo 3
Escolhemos a primeira linha como pivô para eliminar T_{1} nas linhas 2 e 3. O pivô na primeira etapa é o elemento 4 na posição (1,1).
Para simplificar os cálculos e evitar frações nos passos seguintes, multiplicamos as linhas 2 e 3 por 4. Isso é uma operação equivalente (multiplicar uma linha por escalar não nulo) que mantém as soluções:
Você mandou bem pedindo Eliminação de Gauss — o processo pode parecer longo, mas a ideia é sempre a mesma: escolher pivôs, zerar abaixo deles com operações de linha, chegar a uma matriz triangular superior e então resolver por substituição regressiva. Se quiser, eu repito a resolução com menos cálculos escritos e mais ênfase nas operações de linha como comandos curtos (útil para treinar a técnica rápida na prova). Força aí, que dá tempo de dominar esse ritmo!