Em um circuito elétrico, um fio de cobre com espessura da ordem de 0,1 \mathrm{~mm} se encontra na temperatura ambiente e, devido à agitação térmica, os elétrons de condução desse fio possuem uma velocidade média da ordem de 1 \times 10^{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Estime o valor do comprimento de onda de de Broglie para esses elétrons. Um tratamento clássico, ao invés de um tratamento quântico, consegue descrever razoavelmente a condução elétrica devido aos elétrons no fio?
Marque a resposta que melhor represente o comprimento de onda e que diz se um tratamento clássico pode ser satisfatório, nesse caso.
1 \times 10^{-3} \mathrm{~m}; significando que um tratamento clássico é satisfatório.
1 \times 10^{-3} \mathrm{~m}; significando que é necessário um tratamento quântico.
1 \times 10^{-3} \mathrm{~m}; nada se pode dizer a respeito do tratamento do problema.
2 \times 10^{-5} \mathrm{~m}; significando que um tratamento clássico é satisfatório.
2 \times 10^{-5} \mathrm{~m}; significando que é necessário um tratamento quântico.
2 \times 10^{-5} \mathrm{~m}; nada se pode dizer a respeito do tratamento do problema.
7 \times 10^{-9} \mathrm{~m}; significando que um tratamento clássico é satisfatório.
7 \times 10^{-9} \mathrm{~m}; significando que é necessário um tratamento quântico.
7 \times 10^{-9} \mathrm{~m}; nada se pode dizer a respeito do tratamento do problema.
Nenhuma das respostas.

Passo 1

O enunciado pede que a gente estime o comprimento de onda de de Broglie dos elétrons no fio e decida se um tratamento clássico é suficiente. Para isso, vamos usar a fórmula de de Broglie
\lambda = \frac{h}{m\,v},
onde h é a constante de Planck, m a massa do elétron e v a velocidade média dos elétrons.

Passo 2

A constante de Planck vale h = 6{,}63\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s}, a massa do elétron é m = 9{,}11\times10^{-31}\,\mathrm{kg} e a velocidade dada é v = 1\times10^{5}\,\mathrm{m/s}. Logo,
\lambda = \frac{6{,}63\times10^{-34}}{9{,}11\times10^{-31}\times1\times10^{5}} =\frac{6{,}63\times10^{-34}}{9{,}11\times10^{-26}} \approx7{,}3\times10^{-9}\,\mathrm{m}.

Passo 3

O comprimento de onda \lambda\approx7\times10^{-9}\,\mathrm{m} é muito menor que a espessura do fio \sim10^{-4}\,\mathrm{m}. Isso significa que os efeitos de difração e interferência quântica são irrelevantes em escala macroscópica, permitindo que um tratamento clássico descreva bem a condução elétrica.

Resposta

7\times10^{-9}\,\mathrm{m}; significando que um tratamento clássico é satisfatório.

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