Em um circuito elétrico formado por um resistor R e um capacitor C com uma fonte de tensão V_{0}, a equação diferencial que modela a carga q(t) do capacitor ao longo do tempo t é
q^{\prime}=\frac{V_{0}-\frac{q}{C}}{R}
Considere V_{0}=10, R=2. C=1 e q(0)=0 (o capacitor inicia descarregado).
Use o método de Runge-Kutta de ordem 4 com passo h=2 para estimar a carga do capacitor apées 2 segundos.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial que modela a carga q(t) de um circuito RC em resposta a uma fonte de tensão V_{0}:
q' = \frac{V_{0} - \frac{q}{C}}{R}
com V_{0}=10, R=2, C=1 e condição inicial q(0)=0. Queremos estimar q(2) usando o método de Runge–Kutta de 4ª ordem com passo h=2.

Passo 2

Para aplicar Runge–Kutta de 4ª ordem, definimos a função
f(t,q) = \frac{10 - q}{2}.
As etapas do método são:
k_{1} = f(t_{0},q_{0})
k_{2} = f\Bigl(t_{0} + \tfrac{h}{2},\,q_{0} + \tfrac{h}{2}\,k_{1}\Bigr)
k_{3} = f\Bigl(t_{0} + \tfrac{h}{2},\,q_{0} + \tfrac{h}{2}\,k_{2}\Bigr)
k_{4} = f\bigl(t_{0} + h,\,q_{0} + h\,k_{3}\bigr)
e a atualização é
q_{1} = q_{0} + \frac{h}{6}\,\bigl(k_{1} + 2\,k_{2} + 2\,k_{3} + k_{4}\bigr),
com t_{0}=0, q_{0}=0 e h=2.

Passo 3

Calculamos
k_{1} = f(0,0) = \frac{10 - 0}{2} = 5.

Passo 4

Calculamos
k_{2} = f\bigl(1,\,0 + 1\cdot5\bigr) = f(1,5) = \frac{10 - 5}{2} = 2,5.

Passo 5

Calculamos
k_{3} = f\bigl(1,\,0 + 1\cdot2,5\bigr) = f(1,2,5) = \frac{10 - 2,5}{2} = 3,75.

Passo 6

Calculamos
k_{4} = f\bigl(2,\,0 + 2\cdot3,75\bigr) = f(2,7,5) = \frac{10 - 7,5}{2} = 1,25.

Passo 7

Somamos os coeficientes intermediários:
k_{1} + 2\,k_{2} + 2\,k_{3} + k_{4} = 5 + 2\cdot2,5 + 2\cdot3,75 + 1,25 = 18,75.
Em seguida,
q(2) \approx q_{1} = 0 + \frac{2}{6}\cdot18,75 = 6,25.

Resposta

q(2)\approx6,25 (unidades de carga)

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