Scja
\int_{1}^{2} x^{3} d x
(a) Calcule esta integral usando a regra dos trapézios com 4 subintervalos.
(b) Sabendo que \int_{1}^{2} x^{3} d x=3,75, encontre o erro verdadeiro absoluto ao se utilizar a regra dos trapézios com 4 subintervalos.
(c) Estime o erro máximo da apraximação usando a fórmula do erro da regra dos trapézios, Os resultados estảo de acordo com o itom (b)?

Passo 1

O enunciado pede a aproximação de
\int_{1}^{2} x^{3}\,dx
pela regra dos trapézios com 4 subintervalos, depois o erro verdadeiro sabendo que o valor exato é 3{,}75 e, por fim, a estimativa do erro máximo pela fórmula de erro da regra dos trapézios.

Passo 2

A regra dos trapézios com n subintervalos de largura h diz que
T_{n} \;=\;\frac{h}{2}\Bigl[f(x_{0})+2\sum_{k=1}^{n-1}f(x_{k})+f(x_{n})\Bigr].
Aqui a=1, b=2 e n=4, logo
h=\frac{b-a}{n}=\frac{2-1}{4}=0{,}25,
e os nós são x_{k}=1+k\,h, k=0,1,2,3,4.

Passo 3

Calculamos f(x)=x^{3} em cada nó:
\begin{aligned} x_{0}&=1,\quad &f(x_{0})&=1^{3}=1,\\\ x_{1}&=1{,}25,\quad &f(x_{1})&=1{,}25^{3}=1{,}953125,\\\ x_{2}&=1{,}50,\quad &f(x_{2})&=1{,}50^{3}=3{,}375,\\\ x_{3}&=1{,}75,\quad &f(x_{3})&=1{,}75^{3}=5{,}359375,\\\ x_{4}&=2,\quad &f(x_{4})&=2^{3}=8. \end{aligned}

Passo 4

Substituindo na fórmula:
T_{4} =\frac{0{,}25}{2}\Bigl[\,1+2(1{,}953125+3{,}375+5{,}359375)+8\Bigr] =\;0{,}125\bigl[1+2\cdot10{,}6875+8\bigr] =0{,}125\cdot30{,}375 =3{,}796875.

Passo 5

O erro verdadeiro absoluto é
E_{\text{verd}}=\bigl|\underbrace{3{,}75}_{\text{valor exato}}-3{,}796875\bigr| =0{,}046875.

Passo 6

A fórmula de cota de erro da regra dos trapézios é
|E_{T}|\le\frac{(b-a)^{3}}{12\,n^{2}}\max_{x\in[a,b]}|f''(x)|.
Aqui f(x)=x^{3} f''(x)=6x, cujo máximo em [1,2] é 6\cdot2=12. Logo
|E_{T}|\le\frac{(2-1)^{3}}{12\cdot4^{2}}\;12 =\frac{1}{12\cdot16}\;12 =\frac{12}{192} =\frac{1}{16} =0{,}0625.

Passo 7

Comparando, o erro verdadeiro 0{,}046875 é menor que a cota 0{,}0625, então a estimativa está de acordo com o erro observado.

Resposta

(a) T_{4}=3{,}796875.
(b) E_{\text{verd}}=0{,}046875.
(c) Cota de erro 0{,}0625. Sim, a cota é maior que o erro verdadeiro, logo está consistente.

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