Resolva cada PVI abaixo:
y^1 / 2 y^prime+y^3 / 2=1, y(0)=4

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
y^1/2,y' + y^3/2 = 1, y(0)=4
O conteúdo é equação diferencial de primeira ordem não-linear, e vamos usar a substituição u = y^1/2 para simplificar.

Passo 2

Definindo u = y^1/2 temos y = u^2 e
y' = ddx(u^2) = 2,u,dudx
Substituindo na equação original:
ucdotl(2u,tfracdudxr) + u^3 = 1 ;Longrightarrow; 2u^2,dudx + u^3 = 1

Passo 3

Note que u^2,du/dx = tfrac13,d(u^3)/dx. Então
2,13,d(u^3)dx + u^3 = 1 ;Longrightarrow; 2,d(u^3)dx + 3,u^3 = 3
Fazendo v = u^3, isso vira a ODE linear
2,dvdx + 3,v = 3

Passo 4

Escrevendo em forma padrão:
dvdx + 32,v = 32
O fator integrante é e^integral(3/2)dx = e^3x/2. Multiplicando:
ddxl(e^3x/2,vr) = 32,e^3x/2
Integrando:
e^3x/2,v = e^3x/2 + C ;Longrightarrow; v = 1 + C,e^-3x/2

Passo 5

Voltando a u e a y:
u^3 = 1 + C,e^-3x/2 Longrightarrow u = l(1 + C,e^-3x/2r)^1/3,
e
y = u^2 = l(1 + C,e^-3x/2r)^2/3

Passo 6

Usando y(0)=4:
4 = l(1 + Cr)^2/3 ;Longrightarrow; 1 + C = 4^3/2 = 8 ;Longrightarrow; C = 7

Resposta

boxedy(x) = l(1 + 7,e^-3x/2r)^2/3

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