Para um elétron no átomo de hidrogênio com \mathrm{n}=3 :
a) Determinar a degenerescência em energia nesse nivel.
b) Demonstre o resultado obtido em (a) calculando o valor esperado da energia para os estados com \mathrm{n}=3.

Passo 1

O enunciado trata de um elétron no átomo de hidrogênio no nível quântico principal \mathrm{n}=3.
Conteúdo: degenerescência de níveis de energia em hidrogênio (que depende apenas de \mathrm{n}) e valor próprio do Hamiltoniano (energia esperada em autoestados).

Passo 2

Em hidrogênio sem considerar spin, para cada valor de \mathrm{n} temos os subníveis l=0,1,\dots,n-1 e, para cada l, os valores magnéticos m=-l,\dots,+l. O número total de estados de mesma energia (degenerescência g) é
g \;=\;\sum_{l=0}^{n-1}(2l+1)
e sabe-se da soma de termos aritméticos que
\sum_{l=0}^{n-1}(2l+1)=n^2.

Passo 3

Para \mathrm{n}=3 temos
g = 3^2 = 9.

Passo 4

Os autoestados \psi_{n\,l\,m} satisfazem
\hat H\,\psi_{n\,l\,m} = E_n\,\psi_{n\,l\,m},
onde
E_n = -\frac{13,6\,\mathrm{eV}}{n^2}
é o valor próprio do Hamiltoniano. Dessa forma, para qualquer um desses estados
\langle \psi_{n\,l\,m}|\hat H|\psi_{n\,l\,m}\rangle = E_n.

Passo 5

Se fizermos a média das energias esperadas em todos os g=9 estados de \mathrm{n}=3, temos
\langle E\rangle = \frac{1}{9}\sum_{l=0}^{2}\sum_{m=-l}^{l}\langle \psi_{3\,l\,m}|\hat H|\psi_{3\,l\,m}\rangle = \frac{1}{9}\times 9\,E_3 = E_3.
E numericamente
E_3 = -\frac{13,6\,\mathrm{eV}}{3^2} = -\frac{13,6\,\mathrm{eV}}{9} \approx -1,51\,\mathrm{eV}.

Resposta

a) A degenerescência é 9.
b) O valor esperado da energia em cada um dos estados (e, em média, em todos eles) é
E_3 = -\frac{13,6\,\mathrm{eV}}{9} \approx -1,51\,\mathrm{eV}.

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