Para um elétron no átomo de hidrogênio com
:
a) Determinar a degenerescência em energia nesse nivel.
b) Demonstre o resultado obtido em (a) calculando o valor esperado da energia para os estados com
.
a) Determinar a degenerescência em energia nesse nivel.
b) Demonstre o resultado obtido em (a) calculando o valor esperado da energia para os estados com
Passo 1
O enunciado trata de um elétron no átomo de hidrogênio no nível quântico principal
.
Conteúdo: degenerescência de níveis de energia em hidrogênio (que depende apenas de ) e valor próprio do Hamiltoniano (energia esperada em autoestados).
Conteúdo: degenerescência de níveis de energia em hidrogênio (que depende apenas de
Passo 2
Em hidrogênio sem considerar spin, para cada valor de
temos os subníveis
e, para cada
, os valores magnéticos
. O número total de estados de mesma energia (degenerescência
) é
e sabe-se da soma de termos aritméticos que
Passo 3
Para
temos
Passo 4
Os autoestados
satisfazem
onde
é o valor próprio do Hamiltoniano. Dessa forma, para qualquer um desses estados
Passo 5
Se fizermos a média das energias esperadas em todos os
estados de
, temos
E numericamente
Resposta
a) A degenerescência é
.
b) O valor esperado da energia em cada um dos estados (e, em média, em todos eles) é
b) O valor esperado da energia em cada um dos estados (e, em média, em todos eles) é