2- Um resistor de 30 \mathrm{k} \Omega e um capacitor são ligados em série e uma diferença de potencial de 18 V é aplicada bruscamente ao conjunto. A diferença de potencial entre os terminais do capacitor aumenta para 5 V em 1,8 \mu \mathrm{~s} .(\mathbf{0}, 4)
a) Calcule a constante de tempo do circuito.
b) Determine a capacitância C do capacitor.

Passo 1

O enunciado descreve um circuito série R,–, C em que um resistor de 30\\ \mathrm{k}\Omega e um capacitor são submetidos a um degrau de tensão de 18\\ \mathrm V. Após t = 1,8\\ \mu\mathrm s a tensão no capacitor atinge 5\\ \mathrm V.
Conteúdo: transiente de carga em circuitos RC. Vamos usar a lei de carregamento
v_C(t)=V_0\bigl(1 - e^{-t/\tau}\bigr),
onde \tau = R\,C. Primeiro achamos \tau e depois extraímos C.

Passo 2

Aplicamos a equação de carga no instante t=1,8\\ \mu\mathrm s:
v_C(1,8\\ \mu\mathrm s)=18\\ \mathrm V\Bigl(1 - e^{-\,\frac{1,8\times10^{-6}}{\tau}}\Bigr)=5\\ \mathrm V.
Isolando a exponencial,
1 - e^{-\,\frac{1,8\times10^{-6}}{\tau}} = \frac{5}{18} \quad\Longrightarrow\quad e^{-\,\frac{1,8\times10^{-6}}{\tau}} = 1 - \frac{5}{18} = \frac{13}{18}.

Passo 3

Para encontrar \tau isolamos no logaritmo:
-\frac{1,8\times10^{-6}}{\tau} = \ln\!\Bigl(\frac{13}{18}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad \tau = -\frac{1,8\times10^{-6}}{\ln\!\bigl(\tfrac{13}{18}\bigr)}.

Passo 4

Calculando numericamente:
\ln\!\Bigl(\tfrac{13}{18}\Bigr)\approx -0,3254 \quad\Longrightarrow\quad \tau \approx \frac{1,8\times10^{-6}}{0,3254}\approx 5,53\times10^{-6}\\ \mathrm s = 5,53\\ \mu\mathrm s.

Passo 5

Como \tau=R\,C, a capacitância é
C = \frac{\tau}{R} = \frac{5,53\times10^{-6}\\ \mathrm s}{30\times10^{3}\\ \Omega} \approx 1,84\times10^{-10}\\ \mathrm F = 0,184\\ \mathrm{nF}.

Resposta

(a) \tau \approx 5,53\\ \mu\mathrm{s}.
(b) C \approx 0,184\\ \mathrm{nF}.

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