Um circuito possui um indutor de 1 H , um resistor de 220 \Omega, e um capacitor de 2.5 \times 10^{-6} \mathrm{~F} ligados em série a uma bateria de 12 V . Inicialmente a carga no capacitor e a corrente que passa no circuito são nulas. (a) Determine a carga no capacitor e a corrente no circuito em função do tempo. b) Qual é a carga no capacitor e a corrente no circuito quando t \rightarrow \infty ?
  • Fixando a notação: nos exercícios 16-18, temos circuitos elétricos. Denotamos q(t) como sendo a carga no capacitor, de modo que i(t)=d q / d t representa a corrente que passa pelo circuito. De modo geral, um resistor R , um capacitor C e um indutor L estão ligados em série a uma fonte cuja força eletromotriz é \epsilon(\mathrm{t}). Esse circuito é denominado RLC.
Sabendo que a ddp entre os terminais de uma resistência é \operatorname{Ri}(t), entre os terminais de um capacitor é q(t) / C, e entre os terminais de um indutor é L d i / d t, temos pela lei de Kirchoff que
L \frac{d^{2} q}{d t^{2}}+R \frac{d q}{d t}+\frac{1}{C} q=\epsilon(t),
em completa analogia a uma sistema massa-mola. Teremos em muitos casos soluções oscilatórias do tipo
q(t)=e^{-\alpha t}\left(C_{1} \cos (\omega t)+C_{2} \cos (\omega t)\right)
que podem ser reescritas como
q(t)=e^{-\alpha t} A \cos (\omega t+\varphi),
onde \alpha, \omega, C_{1}, C_{2}, A, \varphi são constantes. Quando \alpha=0, A é chamada de amplitude, \omega / 2 \pi é a frequência, e \varphi é a fase. Quando \alpha \neq 0, dizemos que \omega / 2 \pi é a quasifrequência.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um circuito série RLC com L=1\\ \mathrm{H}, R=220\\ \Omega e C=2{,}5\times10^{-6}\\ \mathrm{F} ligado a uma fonte constante de 12\\ \mathrm{V}. Inicialmente q(0)=0 e i(0)=0. Precisamos encontrar q(t) e i(t) para t>0 e depois o comportamento quando t\to\infty. O conteúdo usado é a equação diferencial de segundo ordem em q(t):
L\frac{d^2q}{dt^2}+R\frac{dq}{dt}+\frac{1}{C}\,q=\epsilon(t).

Passo 2

Escrevendo a equação para nossa fonte constante \epsilon(t)=12:
\frac{d^2q}{dt^2}+\frac{R}{L}\,\frac{dq}{dt}+\frac{1}{LC}\,q=\frac{12}{L}.
Aqui \displaystyle\frac{R}{L}=220\\ \mathrm{s}^{-1} e \displaystyle\frac{1}{LC}=\frac{1}{1\cdot2{,}5\times10^{-6}}=4\times10^5\\ \mathrm{s}^{-2}. Definimos
\alpha=\frac{R}{2L}=110\\ \mathrm{s}^{-1}, \quad \omega_0=\sqrt{\frac{1}{LC}}=632{,}46\\ \mathrm{s}^{-1}.
Como \alpha<\omega_0, o regime é subamortecido e a frequência amortecida é
\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}\approx622{,}7\\ \mathrm{s}^{-1}.

Passo 3

Procuramos uma solução particular constante. Em regime permanente \frac{d^2q}{dt^2}=\frac{dq}{dt}=0, logo
\frac{1}{C}\,q_p=12 \quad\Longrightarrow\quad q_p=C\cdot12=2{,}5\times10^{-6}\cdot12=3{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{C}.

Passo 4

A parte homogênea satisfaz
\frac{d^2q_h}{dt^2}+2\alpha\,\frac{dq_h}{dt}+\omega_0^2\,q_h=0
com solução geral
q_h(t)=e^{-\alpha t}\bigl(B_1\cos(\omega_d t)+B_2\sin(\omega_d t)\bigr).
Logo a solução geral é
q(t)=q_p+q_h(t) =3\times10^{-5}+e^{-110t}\bigl(B_1\cos(622{,}7\,t)+B_2\sin(622{,}7\,t)\bigr).

Passo 5

Impondo q(0)=0:
0=3\times10^{-5}+B_1 \quad\Longrightarrow\quad B_1=-3\times10^{-5}.
Como i(t)=dq/dt e i(0)=0, calculamos i(0) da derivada de q_h:
i(0)=-\alpha B_1+B_2\,\omega_d=0 \quad\Longrightarrow\quad B_2=\frac{\alpha\,B_1}{\omega_d} =-\frac{110\cdot(-3\times10^{-5})}{622{,}7} =-\frac{110\cdot3\times10^{-5}}{622{,}7}.

Passo 6

Substituindo B_1 e B_2 achamos
q(t) =3\times10^{-5}\Bigl[1-e^{-110t}\Bigl(\cos(622{,}7t)+\frac{110}{622{,}7}\sin(622{,}7t)\Bigr)\Bigr]\\ \mathrm{C}.
Para i(t)=dq/dt nota-se que
i(t) =\frac{12}{L}\,\frac{1}{\omega_d}\,e^{-110t}\sin(622{,}7t) =\frac{12}{622{,}7}\,e^{-110t}\sin(622{,}7t)\\ \mathrm{A}.

Passo 7

Arredondando:
q(t)=3{,}0\times10^{-5}\Bigl[1-e^{-110t}\bigl(\cos(622{,}7t)+0{,}1768\sin(622{,}7t)\bigr)\Bigr]\\ \mathrm{C},
i(t)=0{,}01927\,e^{-110t}\sin(622{,}7t)\\ \mathrm{A}.

Resposta

Para t\rightarrow\infty:
q(\infty)=3{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{C}, \quad i(\infty)=0\\ \mathrm{A}.

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