Um circuito possui um indutor de 1 H , um resistor de
, e um capacitor de
ligados em série a uma bateria de 12 V . Inicialmente a carga no capacitor e a corrente que passa no circuito são nulas. (a) Determine a carga no capacitor e a corrente no circuito em função do tempo. b) Qual é a carga no capacitor e a corrente no circuito quando
?
- Fixando a notação: nos exercícios 16-18, temos circuitos elétricos. Denotamos
como sendo a carga no capacitor, de modo que
representa a corrente que passa pelo circuito. De modo geral, um resistor R , um capacitor C e um indutor
estão ligados em série a uma fonte cuja força eletromotriz é
. Esse circuito é denominado RLC.
Sabendo que a ddp entre os terminais de uma resistência é
, entre os terminais de um capacitor é
, e entre os terminais de um indutor é
, temos pela lei de Kirchoff que
em completa analogia a uma sistema massa-mola. Teremos em muitos casos soluções oscilatórias do tipo
que podem ser reescritas como
onde
,
são constantes. Quando
,
é chamada de amplitude,
é a frequência, e
é a fase. Quando
, dizemos que
é a quasifrequência.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos um circuito série RLC com
,
e
ligado a uma fonte constante de
. Inicialmente
e
. Precisamos encontrar
e
para
e depois o comportamento quando
. O conteúdo usado é a equação diferencial de segundo ordem em
:
Passo 2
Escrevendo a equação para nossa fonte constante
:
Aqui
e
. Definimos
Como
, o regime é subamortecido e a frequência amortecida é
Passo 3
Procuramos uma solução particular constante. Em regime permanente
, logo
Passo 4
A parte homogênea satisfaz
com solução geral
Logo a solução geral é
Passo 5
Impondo
:
Como
e
, calculamos
da derivada de
:
Passo 6
Substituindo
e
achamos
Para
nota-se que
Passo 7
Arredondando:
Resposta
Para
: