Em um circuito RC uma bateria gera uma diferença de potencial de 10 volts enquanto a resistência é de 10^3 ohms e a capacitância é de 10^-4 farads. Vamos encontrar a carga Q(t) no capacitor em cada instante t, se Q(0)=0 e o limite de Q(t) quando t tende a mais infinito. (1,5)
Op

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um circuito RC onde uma bateria de 10 volts está conectada a uma resistência de 10^3 ohms e a um capacitor de 10^-4 farads. Nosso objetivo é descobrir qual é a carga Q(t) no capacitor em qualquer instante t, sabendo que inicialmente a carga é zero ( Q(0) = 0) e também descobrir qual será o valor dessa carga quando o tempo tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, é importante entender como funciona um circuito RC. RC significa Resistor ® e Capacitor (C) conectados em série. Quando ligamos a bateria, o capacitor começa a se carregar através do resistor. A carga no capacitor aumenta com o tempo até atingir um valor máximo quando o capacitor está totalmente carregado.

Passo 3

Para encontrar a carga Q(t) no capacitor em função do tempo, usamos a equação diferencial que descreve o comportamento do circuito:
dQdt = V - QCR
Aqui, V é a tensão da bateria, R é a resistência e C é a capacitância.

Passo 4

Resolvendo essa equação diferencial, obtemos a fórmula para a carga no capacitor ao longo do tempo:
Q(t) = C cdot V (1 - e^-tRC)
Onde:
  • e é a base do logaritmo natural,
  • RC é a constante de tempo do circuito.

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores fornecidos no exercício:
Q(t) = 10^-4 cdot 10 (1 - e^-t10^3 cdot 10^-4)
Simplificando:
Q(t) = 10^-3 (1 - e^-10t) coulombs

Resposta

A carga no capacitor em qualquer instante t é dada por:
Q(t) = 10^-3 (1 - e^-10t) C
E o limite da carga quando t tende ao infinito é:
limt to infty Q(t) = 10^-3 C

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