No problema de crescimento populacional abaixo, resolvas as seguintes alternativas:
a) Escreva a solução do problema de valor inicial
e use-a para encontrar a população quando
.
b) Quando a população atinge 1200 ?
a) Escreva a solução do problema de valor inicial
b) Quando a população atinge 1200 ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de crescimento populacional juntos! O que temos aqui é uma equação diferencial que modela como a população
muda ao longo do tempo
. Vamos usar o conteúdo de equações diferenciais e crescimento populacional para resolver as partes a) e b). Precisamos entender como resolver uma equação diferencial logística e aplicar condições iniciais para achar a população em
e o tempo quando a população chega a 1200.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte a). A equação que temos é:
Essa é uma equação diferencial logística, que descreve o crescimento populacional limitado por um fator ambiental (no caso, a capacidade de suporte da população, que aqui é 2000).
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos separar as variáveis
e
. Primeiro, reescrevemos a equação:
Podemos dividir ambos os lados por
e multiplicar por
para separar as variáveis:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados. A integral à esquerda é um pouco complicada, mas podemos usar frações parciais para simplificar. Primeiro, reescrevemos:
Então, a integral fica:
Passo 5
Calculando as integrais:
Onde
é a constante de integração. Podemos combinar os logaritmos:
Passo 6
Vamos resolver para
. Primeiro, aplicamos a exponencial em ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Podemos escrever
como uma nova constante
:
Passo 7
Resolvendo para
:
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar
:
Então, a solução fica:
Passo 8
Agora, para encontrar a população quando
, substituímos na equação:
Calculando
:
Passo 9
Agora, vamos para a parte b). Queremos saber quando a população atinge 1200, ou seja, encontrar
tal que
.
Usamos a equação da solução:
Passo 10
Resolvendo para
:
Passo 11
Aplicando o logaritmo natural para resolver para
:
Resposta
a) A população em
é aproximadamente 560 indivíduos.
b) A população atinge 1200 indivíduos após aproximadamente 33,5 unidades de tempo.