No problema de crescimento populacional abaixo, resolvas as seguintes alternativas: (2,0)
a) Escreva a solução do problema de valor inicial
d Pd t=0,1 P(1-P2000) P(0)=100
e use-a para encontrar a população quando t=20.
b) Quando a população atinge 1200 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de crescimento populacional juntos! O que temos aqui é uma equação diferencial que modela como a população P muda ao longo do tempo t . Vamos usar o conteúdo de equações diferenciais e crescimento populacional para resolver as partes a) e b). Precisamos entender como resolver uma equação diferencial logística e aplicar condições iniciais para achar a população em t = 20 e o tempo quando a população chega a 1200.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte a). A equação que temos é:
d Pd t=0,1 P(1-P2000) P(0)=100
Essa é uma equação diferencial logística, que descreve o crescimento populacional limitado por um fator ambiental (no caso, a capacidade de suporte da população, que aqui é 2000).

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos separar as variáveis P e t . Primeiro, reescrevemos a equação:
d Pdt = 0,1 P (1 - P2000)
Podemos dividir ambos os lados por P(1 - P2000) e multiplicar por dt para separar as variáveis:
1P(1 - P2000) dP = 0,1 dt

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados. A integral à esquerda é um pouco complicada, mas podemos usar frações parciais para simplificar. Primeiro, reescrevemos:
1P(1 - P2000) = 1P + 12000 - P
Então, a integral fica:
integral ( 1P + 12000 - P ) dP = integral 0,1 dt

Passo 5

Calculando as integrais:
ln|P| - ln|2000 - P| = 0,1 t + C
Onde C é a constante de integração. Podemos combinar os logaritmos:
ln(P2000 - P) = 0,1 t + C

Passo 6

Vamos resolver para P . Primeiro, aplicamos a exponencial em ambos os lados para eliminar o logaritmo:
P2000 - P = e^0,1 t + C = e^C cdot e^0,1 t
Podemos escrever e^C como uma nova constante K :
P2000 - P = K e^0,1 t

Passo 7

Resolvendo para P :
P = 2000 K e^0,1 t1 + K e^0,1 t
Agora, usamos a condição inicial P(0) = 100 para encontrar K :
100 = 2000 K1 + K implies 100 + 100 K = 2000 K implies 100 = 1900 K implies K = 1001900 = 119
Então, a solução fica:
P(t) = 2000 cdot 119 e^0,1 t1 + 119 e^0,1 t = 2000 e^0,1 t19 + e^0,1 t

Passo 8

Agora, para encontrar a população quando t = 20 , substituímos na equação:
P(20) = 2000 e^0,1 cdot 2019 + e^0,1 cdot 20 = 2000 e^219 + e^2
Calculando e^2 approx 7,389 :
P(20) approx 2000 times 7,38919 + 7,389 = 1477826,389 approx 560

Passo 9

Agora, vamos para a parte b). Queremos saber quando a população atinge 1200, ou seja, encontrar t tal que P(t) = 1200 .
Usamos a equação da solução:
1200 = 2000 e^0,1 t19 + e^0,1 t

Passo 10

Resolvendo para e^0,1 t :
1200 (19 + e^0,1 t) = 2000 e^0,1 t implies 22800 + 1200 e^0,1 t = 2000 e^0,1 t
22800 = 800 e^0,1 t implies e^0,1 t = 22800800 = 28,5

Passo 11

Aplicando o logaritmo natural para resolver para t :
0,1 t = ln(28,5) implies t = ln(28,5)0,1 approx 3,350,1 = 33,5

Resposta

a) A população em t = 20 é aproximadamente 560 indivíduos.
b) A população atinge 1200 indivíduos após aproximadamente 33,5 unidades de tempo.

Exercícios relacionados