Resolva as equaçōes diferenciais abaixo:
Q
, com
e
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial:
Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação. Para isso, vamos utilizar técnicas de resolução de equações diferenciais, como substituição e separação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar
. Podemos fazer isso movendo o termo que não contém
para o lado direito da igualdade:
Agora, dividimos ambos os lados por
:
Passo 3
Observando a presença de
em vários lugares, vamos fazer uma substituição para simplificar. Vamos definir:
Isso implica que:
Passo 4
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a
para encontrar uma relação entre
e
:
Aplicando a regra da cadeia e a regra do produto:
Passo 5
Queremos expressar
em termos de
e
. Vamos rearranjar a equação anterior:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 6
Lembrando que
, podemos expressar
em termos de
e
:
Substituindo na equação para
:
Passo 7
Agora, substituímos
na equação original que obtivemos no Passo 2:
Simplificando o lado direito:
Passo 8
Igualamos as duas expressões para
:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 9
Rearranjamos a equação para isolar
:
Simplificando o lado direito:
Passo 10
Dividimos ambos os lados por
:
Assim, a equação fica:
Passo 11
Essa é uma equação diferencial separável. Vamos reescrever para separar as variáveis
e
:
Passo 12
Agora, integramos ambos os lados:
Realizando as integrais:
Passo 13
Substituímos
de volta para termos de
e
, já que
:
Simplificando:
Passo 14
Isolamos
na equação:
Simplificando:
onde
é uma constante que incorpora
.
Passo 15
Finalmente, resolvemos para
:
onde
é uma constante arbitrária.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.