Resolva as equaçōes diferenciais abaixo: (3,0) Q
(raizx y-1) x y^prime-(raizx y+1) y=0, com x y neq 1 e x y>0.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial:
(raizx y - 1) cdot x cdot dydx - (raizx y + 1) cdot y = 0
Nosso objetivo é encontrar a função y(x) que satisfaz essa equação. Para isso, vamos utilizar técnicas de resolução de equações diferenciais, como substituição e separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar dydx. Podemos fazer isso movendo o termo que não contém dydx para o lado direito da igualdade:
(raizx y - 1) cdot x cdot dydx = (raizx y + 1) cdot y
Agora, dividimos ambos os lados por (raizx y - 1) cdot x:
dydx = (raizx y + 1) cdot y(raizx y - 1) cdot x

Passo 3

Observando a presença de raizx y em vários lugares, vamos fazer uma substituição para simplificar. Vamos definir:
u = raizx y
Isso implica que:
u^2 = x y

Passo 4

Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a x para encontrar uma relação entre du/dx e dy/dx:
ddx(u^2) = ddx(x y)
Aplicando a regra da cadeia e a regra do produto:
2u cdot dudx = y + x cdot dydx

Passo 5

Queremos expressar dydx em termos de u e dudx. Vamos rearranjar a equação anterior:
x cdot dydx = 2u cdot dudx - y
Dividindo ambos os lados por x:
dydx = 2u cdot dudx - yx

Passo 6

Lembrando que u = raizx y, podemos expressar y em termos de u e x:
u^2 = x y implies y = u^2x
Substituindo na equação para dydx:
dydx = 2u cdot dudx - u^2xx = 2ux cdot dudx - u^2x^2

Passo 7

Agora, substituímos dydx na equação original que obtivemos no Passo 2:
2ux cdot dudx - u^2x^2 = (u + 1) cdot u^2x(u - 1) cdot x
Simplificando o lado direito:
(u + 1) cdot u^2(u - 1) cdot x^2

Passo 8

Igualamos as duas expressões para dydx:
2ux cdot dudx - u^2x^2 = (u + 1) cdot u^2(u - 1) cdot x^2
Multiplicando ambos os lados por x^2 para eliminar os denominadores:
2u cdot x cdot dudx - u^2 = (u + 1) cdot u^2u - 1

Passo 9

Rearranjamos a equação para isolar dudx:
2u cdot x cdot dudx = (u + 1) cdot u^2u - 1 + u^2
Simplificando o lado direito:
2u cdot x cdot dudx = (u + 1)u^2 + (u - 1)u^2u - 1 = 2u^3u - 1

Passo 10

Dividimos ambos os lados por 2u:
x cdot dudx = u^2u - 1
Assim, a equação fica:
dudx = u^2x (u - 1)

Passo 11

Essa é uma equação diferencial separável. Vamos reescrever para separar as variáveis u e x:
(u - 1) cdot duu^2 = dxx

Passo 12

Agora, integramos ambos os lados:
integral ( 1u - 1u^2 ) du = integral 1x dx
Realizando as integrais:
ln|u| + 1u = ln|x| + C

Passo 13

Substituímos u de volta para termos de x e y, já que u = raizx y:
ln(raizx y) + 1raizx y = ln(x) + C
Simplificando:
12 ln(x y) + 1raizx y = ln(x) + C

Passo 14

Isolamos ln(y) na equação:
12 ln(y) = ln(x) - 12 ln(x) - 1raizx y + C
Simplificando:
ln(y) + 2raizx y = ln(x) + K
onde K é uma constante que incorpora C.

Passo 15

Finalmente, resolvemos para y:
y = C cdot x cdot e^- 2raizx y
onde C é uma constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C cdot x cdot e^- 2raizx y
onde C é uma constante arbitrária.

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