Resolva as equaçōes diferenciais abaixo: (3,0) Q
d yd x=-4x^2-1x y+y^2, com y1=2x

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial do tipo
dydx = -4x^2 - 1x y + y^2,
com uma condição inicial y1 = 2x . O conteúdo aqui envolve resolver equações diferenciais que possuem termos não lineares, especificamente uma equação de Riccati. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição e transformação de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, observe que a equação dada é uma equação de Riccati, que tem a forma geral:
dydx = P(x) y + Q(x) y^2 + R(x)
No nosso caso, identificamos:
P(x) = -1x, Q(x) = 1, R(x) = -4x^2
Sabendo que temos uma solução particular dada por y1 = 2x , podemos usar essa solução para simplificar a equação.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para transformar a equação de Riccati em uma equação linear. Definimos:
y = y1 + 1z
Substituindo y1 = 2x na equação, teremos:
dydx = ddx(2x + 1z) = -2x^2 - 1z^2 dzdx

Passo 4

Agora, substituímos y e dydx na equação original:
-2x^2 - 1z^2 dzdx = -4x^2 - 1x(2x + 1z) + (2x + 1z)^2
Simplificando os termos, percebemos que muitos se cancelam graças à escolha da solução particular y1 .

Passo 5

Após simplificar, ficamos com uma equação em termos de z :
-1z^2 dzdx = 1z^2
Multiplicando ambos os lados por -z^2 , obtemos:
dzdx = -1
Essa é uma equação diferencial simples que podemos integrar diretamente.

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a x :
integral dzdx dx = integral -1 , dx implies z = -x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, lembrando da substituição y = 2x + 1z e substituindo z = -x + C , temos:
y = 2x + 1-x + C
Podemos escrever de forma mais elegante:
y = 2x + 1C - x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x) = 2x + 1C - x,
onde C é uma constante arbitrária.

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