Resolva as equaçōes diferenciais abaixo:
Q
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial do tipo
com uma condição inicial
. O conteúdo aqui envolve resolver equações diferenciais que possuem termos não lineares, especificamente uma equação de Riccati. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição e transformação de equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, observe que a equação dada é uma equação de Riccati, que tem a forma geral:
No nosso caso, identificamos:
Sabendo que temos uma solução particular dada por
, podemos usar essa solução para simplificar a equação.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para transformar a equação de Riccati em uma equação linear. Definimos:
Substituindo
na equação, teremos:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na equação original:
Simplificando os termos, percebemos que muitos se cancelam graças à escolha da solução particular
.
Passo 5
Após simplificar, ficamos com uma equação em termos de
:
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos:
Essa é uma equação diferencial simples que podemos integrar diretamente.
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, lembrando da substituição
e substituindo
, temos:
Podemos escrever de forma mais elegante:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
onde
é uma constante arbitrária.