Encontre condições para as constantes
e
tais que a equação
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial dada por
E precisamos encontrar as condições para as constantes
e
para que essa equação seja exata. Isso significa que existe uma função
cuja derivada total nos dá essa equação. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas e verificar as condições necessárias passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial exata. Uma equação da forma
é exata se existe uma função
tal que:
Para que isso seja possível, as derivadas cruzadas devem ser iguais, ou seja:
Então, vamos identificar
e
na nossa equação:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 3
Calculando
:
Calculando
:
Para que a equação seja exata, essas duas derivadas devem ser iguais:
Isso precisa ser válido para todos os valores de
e
. Portanto, os coeficientes dos termos semelhantes devem ser iguais.
Passo 4
Comparando os coeficientes de
:
E comparando os coeficientes de
:
Essas são as condições que as constantes precisam satisfazer para que a equação seja exata.
Resposta
As constantes devem satisfazer
e
. Ou seja,