Encontre condições para as constantes A, B, C, D, E e F tais que a equação
(A^2+B x y+C y^2) d x+(D x^2+E x y+F y^2) d y=0 seja exata (1,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial dada por
(A^2 + B x y + C y^2) dx + (D x^2 + E x y + F y^2) dy = 0
E precisamos encontrar as condições para as constantes A, B, C, D, E e F para que essa equação seja exata. Isso significa que existe uma função Phi(x, y) cuja derivada total nos dá essa equação. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas e verificar as condições necessárias passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial exata. Uma equação da forma M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 é exata se existe uma função Phi(x, y) tal que:
partial Phipartial x = M e partial Phipartial y = N
Para que isso seja possível, as derivadas cruzadas devem ser iguais, ou seja:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Então, vamos identificar M e N na nossa equação:
M = A^2 + B x y + C y^2
N = D x^2 + E x y + F y^2
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 3

Calculando partial Mpartial y :
partial Mpartial y = partialpartial y (A^2 + B x y + C y^2) = B x + 2 C y
Calculando partial Npartial x :
partial Npartial x = partialpartial x (D x^2 + E x y + F y^2) = 2 D x + E y
Para que a equação seja exata, essas duas derivadas devem ser iguais:
B x + 2 C y = 2 D x + E y
Isso precisa ser válido para todos os valores de x e y . Portanto, os coeficientes dos termos semelhantes devem ser iguais.

Passo 4

Comparando os coeficientes de x :
B = 2 D
E comparando os coeficientes de y :
2 C = E
Essas são as condições que as constantes precisam satisfazer para que a equação seja exata.

Resposta

As constantes devem satisfazer B = 2D e E = 2C . Ou seja,
B = 2D e E = 2C

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