Um circuito RC com um resistor de 1 Omega e um capacitor de 0,000001 F é alimentado por uma tensão E(t)= sen100t V. Se a tensão inicial do capacitor é zero, determine as tensões subsequentes do resistor e do capacitor bem como a corrente.

Passo 1

O enunciado descreve um circuito série RC com resistor R=1,Omega e capacitor C=1times10^-6,F sujeito a uma fonte E(t)=sin(100t),V. A tensão inicial no capacitor é vC(0)=0. Precisamos encontrar a tensão no capacitor vC(t), a tensão no resistor vR(t) e a corrente i(t) para t>0.

Passo 2

Pela lei das malhas (KVL) temos
vR(t)+vC(t)=E(t)=sin(100t)
Como vR(t)=R,i(t) e i(t)=C,dvCdt, substituindo obtemos a equação diferencial
R,C,dvCdt+vC(t)=sin(100t)
Aqui tau=RC=1times10^-6,s, logo
10^-6,dvCdt+vC(t)=sin(100t)

Passo 3

Resolvemos primeiro a solução homogênea associada:
10^-6,dvC,hdt+vC,h=0
cuja solução é
vC,h(t)=K,e^-t/(10^-6)

Passo 4

Procuramos uma solução particular da forma
vC,p(t)=Asin(100t)+Bcos(100t)
Calculamos a derivada
dvC,pdt=100Acos(100t)-100Bsin(100t)
e substituímos em
10^-6dvC,pdt+vC,p(t)=sin(100t)
Isso gera o sistema
-100times10^-6,B + A = 1, 100times10^-6,A + B = 0
Como 100times10^-6=10^-4, resolvendo obtemos
Aapprox0,99999999, Bapprox-0,0001

Passo 5

A solução geral é
vC(t)=vC,p(t)+vC,h(t) =0,99999999sin(100t)-0,0001cos(100t)+K,e^-t/10^-6
Impondo vC(0)=0
0=-0,0001+K;Longrightarrow;K=0,0001
Assim
vC(t)=0,99999999sin(100t)-0,0001cos(100t)+0,0001,e^-10^6t

Passo 6

A corrente é
i(t)=C,dvCdt =10^-6l[100cdot0,99999999cos(100t) -100(-0,0001)sin(100t) -10^6cdot0,0001,e^-10^6tr]
ou seja
i(t)approx0,0001cos(100t)+0,00000001sin(100t)-0,0001,e^-10^6t(A)
A tensão no resistor é vR(t)=R,i(t), logo
vR(t)=i(t)approx0,0001cos(100t)+0,00000001sin(100t)-0,0001,e^-10^6t(V)

Resposta

vC(t)=0,99999999sin(100t)-0,0001cos(100t)+0,0001,e^-10^6t,,
vR(t)=0,0001cos(100t)+0,00000001sin(100t)-0,0001,e^-10^6t,,
i(t)=0,0001cos(100t)+0,00000001sin(100t)-0,0001,e^-10^6t,

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