Um paraquedista cuja massa é de 75 kg cai de um helicóptero parado a 2.000 m acima do solo e desce em direção ao solo sob a influência da gravidade. Suponha que a força causada pela resistência do ar seja proporcional à velocidade do paraquedista, com a constante de proporcionalidade b1=30 N-s / m quando o paraquedas está fechado e b2=90 N-s / m quando está aberto. Se o paraquedas não se abrir até que a velocidade do paraquedista atinja 20 m / s, depois de quantos segundos ele alcançará o solo? [Considere a força da gravidade como g=9,81 m / s^2 ou g=32 pés / s^2é ]

Passo 1

O enunciado descreve um paraquedista de massa m=75 kg que cai de H=2000 m, sofrendo arrasto proporcional à velocidade com constantes b1=30 Ncdot s/m (paraquedas fechado) e b2=90 Ncdot s/m (paraquedas aberto). Vamos modelar a queda em duas etapas por meio de EDOs lineares de primeira ordem:
1. 0<= t<= t1: paraquedas fechado, coeficiente b1, até v=20 m/s.
2. t>= t1: paraquedas aberto, coeficiente b2, até atingir H.
Precisamos achar t1, a distância y1 percorrida no estágio 1, depois resolver o estágio 2 para achar o tempo extra t2 e, finalmente, ttotal=t1+t2.

Passo 2

Etapa 1 ( b=b1). A EDO é
dvdt = g - b1mv
A solução geral com v(0)=0 é
v(t)=m gb1l(1 - e^-b1mtr)
O instante t1 em que v(t1)=20 m/s vem de
20 = m gb1l(1 - e^-b1mt1r) Longrightarrow t1 = -mb1ln!l(1 - b1,cdot20m,gr)

Passo 3

Distância percorrida no estágio 1:
y1 = integral0^t1 v(t),dt = m gb1,t1 - m^2gb1^2l(1 - e^-b1mt1r)
Substituindo m=75 kg, g=9,81 m/ s^2 e b1=30 Ncdot s/m:
t1 approx 4,23 s, y1 approx 53,8 m

Passo 4

Etapa 2 ( b=b2). Agora a EDO é
dvdt = g - b2mv,
com condição inicial v(0)=20 m/s. A solução é
v2(t) = m gb2 + C,e^-b2mt,
onde
C = 20 - m gb2, m gb2 = 8,175 m/s, C = 11,825 m/s
A distância no estágio 2 é
y2(t) = integral0^t v2(s),ds = m gb2,t + C,mb2l(1 - e^-b2mtr)
Devemos achar t2 tal que
y2(t2) = H - y1 approx 2000 - 53,8 = 1946,2 m
Fazendo uma primeira aproximação ignorando o termo exponencial e depois refinando por Newton, chega-se a
t2 approx 236,7 s

Passo 5

O tempo total de queda é
ttotal = t1 + t2 approx 4,23 + 236,7 = 240,9 s

Resposta

O paraquedista alcançará o solo em aproximadamente 240,9 s (cerca de 4 min 1 s).

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