Um paraquedista cuja massa é de 75 kg cai de um helicóptero parado a 2.000 m acima do solo e desce em direção ao solo sob a influência da gravidade. Suponha que a força causada pela resistência do ar seja proporcional à velocidade do paraquedista, com a constante de proporcionalidade
quando o paraquedas está fechado e
quando está aberto. Se o paraquedas não se abrir até que a velocidade do paraquedista atinja
, depois de quantos segundos ele alcançará o solo? [Considere a força da gravidade como
ou
]
Passo 1
O enunciado descreve um paraquedista de massa
kg que cai de
m, sofrendo arrasto proporcional à velocidade com constantes
/m (paraquedas fechado) e
/m (paraquedas aberto). Vamos modelar a queda em duas etapas por meio de EDOs lineares de primeira ordem:
.
: paraquedas fechado, coeficiente
, até
m/s.
.
: paraquedas aberto, coeficiente
, até atingir
.
Precisamos achar , a distância
percorrida no estágio
, depois resolver o estágio
para achar o tempo extra
e, finalmente,
.
Precisamos achar
Passo 2
Etapa
(
). A EDO é
A solução geral com
é
O instante
em que
m/s vem de
Passo 3
Distância percorrida no estágio
:
Substituindo
kg,
m/
e
/m:
Passo 4
Etapa
(
). Agora a EDO é
com condição inicial
m/s. A solução é
onde
A distância no estágio
é
Devemos achar
tal que
Fazendo uma primeira aproximação ignorando o termo exponencial e depois refinando por Newton, chega-se a
Passo 5
O tempo total de queda é
Resposta
O paraquedista alcançará o solo em aproximadamente
s (cerca de
min
s).