A parametrização r(t)=(-2001+10 cos (2 t), 10 sin (2 t)), t in[0, pi] representa:
a) Uma circunferência centrada em (-2001,0), de raio 10 .
b) Metade de uma circunferência centrada em (-2001,0), de raio raiz10.
c) Uma circunferência centrada em (2001,0), de raio 100 .
d) Metade de uma circunferência centrada em (2001,0), de raio raiz10.
e) Metade de uma circunferência centrada em (-2001,0), de raio 10 .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado! A gente tem uma parametrização r(t) = (-2001 + 10 cos(2t), 10 sin(2t)) para t entre 0 e pi . O tema aqui é geometria analítica, especificamente sobre parametrização de curvas. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como identificar o centro e o raio de uma circunferência a partir de sua parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a parametrização de uma circunferência no plano. Uma circunferência de centro (h, k) e raio r pode ser representada por:
x = h + r cos(theta)
y = k + r sin(theta)
onde theta é o parâmetro que varia de acordo com o intervalo dado.

Passo 3

Agora, vamos comparar essa forma geral com a parametrização que temos no exercício:
x = -2001 + 10 cos(2t)
y = 10 sin(2t)
Vemos que h = -2001 e k = 0 , então o centro da circunferência é (-2001, 0) .

Passo 4

O coeficiente que está multiplicando o cosseno e o seno representa o raio da circunferência. No nosso caso, esse coeficiente é 10. Então, o raio da circunferência é 10.

Passo 5

Agora, vamos analisar o parâmetro t . Ele está variando de 0 a pi , mas dentro das funções trigonométricas temos 2t . Isso significa que, conforme t varia de 0 a pi , o ângulo 2t varia de 0 a 2pi , completando assim uma circunferência completa.

Passo 6

Entretanto, como o intervalo original de t é de 0 a pi , e dentro das funções trigonométricas o ângulo varia de 0 a 2pi , na prática, estamos descrevendo metade da circunferência.

Passo 7

Juntando todas as informações:
  • Centro: (-2001, 0)
  • Raio: 10
  • Intervalo de t descreve metade da circunferência

Resposta

A alternativa correta é a e) Metade de uma circunferência centrada em (-2001,0), de raio 10.

Exercícios relacionados