Em um circuito RCL, de indutância L=20 \mathrm{mH} e de capacitância C=0,20 \mathrm{mF}, a resistência é igual a 12 \Omega. Suponha que seja acrescida uma fonte de tensão alternada dada por F_{E}=(6,0 \mathrm{~V}) \cos (\omega t).
b) Qual a nova frequência de ressonância do circuito?
c) Qual a amplitude da corrente desse circuito?

Passo 1

O enunciado fala de um circuito série RLC com
\displaystyle L=20\,\mathrm{mH}, \displaystyle C=0,20\,\mathrm{mF} e \displaystyle R=12\,\Omega, alimentado por
\displaystyle F_E(t)=6{,}0\cos(\omega t)\,\mathrm{V}.
Queremos (b) a frequência de ressonância considerando o amortecimento pelo resistor e (c) a amplitude da corrente nesse ponto de ressonância. Para isso vamos usar a teoria do circuito RLC série amortecido e a fórmula da impedância complexa.

Passo 2

Em um RLC série com amortecimento, a frequência angular de ressonância (máximo de corrente) é
\omega_r \;=\;\sqrt{\frac{1}{LC}\;-\;\frac{R^2}{2\,L^2}}\,.
Essa fórmula já leva em conta a “queda” de ressonância causada pelo termo \displaystyle R.

Passo 3

Calculemos os termos dentro da raiz:
\frac{1}{LC} =\frac{1}{(0,02)(0,0002)} =250\,000\quad(\mathrm{rad}^2/\mathrm{s}^2),
\frac{R^2}{2L^2} =\frac{(12)^2}{2\,(0,02)^2} =\frac{144}{2\cdot0,0004} =180\,000\quad(\mathrm{rad}^2/\mathrm{s}^2).
Logo
\omega_r =\sqrt{250\,000-180\,000} =\sqrt{70\,000} \approx264{,}6\;\mathrm{rad/s}.

Passo 4

Para converter em frequência em hertz, usamos
f_r=\frac{\omega_r}{2\pi} \approx\frac{264{,}6}{2\pi} \approx42{,}1\;\mathrm{Hz}.

Passo 5

No ponto de ressonância a impedância total mínima é
Z(\omega_r) =\sqrt{R^2+\Bigl(\omega_r L-\tfrac{1}{\omega_r C}\Bigr)^2}\,,
e a amplitude da corrente é
I_0 =\frac{F_0}{Z(\omega_r)},
onde \displaystyle F_0=6{,}0 V é a amplitude da fonte.

Passo 6

Calculemos primeiro as reatâncias em \omega_r:
X_L =\omega_r L =264{,}6\cdot0,02 \approx5{,}29\;\Omega,
X_C =\frac{1}{\omega_r C} =\frac{1}{264{,}6\cdot0,0002} \approx18{,}89\;\Omega,
X_L-X_C \approx5{,}29-18{,}89 =-13{,}60\;\Omega.
Então
Z(\omega_r) =\sqrt{12^2+(-13{,}60)^2} \approx18{,}14\;\Omega,
I_0 =\frac{6{,}0}{18{,}14} \approx0{,}33\;\mathrm{A}.

Resposta

(b) \displaystyle f_r\approx42{,}1\;\mathrm{Hz}.
(c) \displaystyle I_0\approx0{,}33\;\mathrm{A}.

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