Uma fenda única é iluminada por uma onda plana monocromáticas em incidencia normal de comprimento de onda igual a 0,60 \mu \mathrm{~m}. Em um anteparo a 0,80 \mathrm{~m} da fenda, é observado um máximo centra com 1,6 \mathrm{~m} de largura (de um extremo ao outro). Calcule a abertura da fenda

Passo 1

O enunciado descreve difração numa fenda única sob incidência normal de uma onda plana de comprimento de onda \lambda=0,60\,\mu\mathrm{m}. No anteparo, a uma distância L=0,80\,\mathrm{m} da fenda, o máximo central tem largura total W=1,6\,\mathrm{m}. Queremos encontrar a abertura da fenda a. O conteúdo necessário é a condição de mínimos em difração de fenda única e a relação geométrica entre ângulo de difração e largura do máximo.

Passo 2

Para uma fenda única, os mínimos de intensidade ocorrem quando
a\,\sin\theta = m\,\lambda,
sendo m=\pm1,\pm2,\dots. O primeiro mínimo ao redor do máximo central corresponde a m=\pm1, de modo que
\sin\theta = \frac{\lambda}{a}.
Geometricamente, a metade da largura do máximo central no anteparo é
x = L\,\tan\theta,
e como a largura total é W=2x, temos
\tan\theta = \frac{W}{2L}.

Passo 3

Expressamos a isolando-o nas equações acima. De
\tan\theta = \frac{W}{2L} \quad\Longrightarrow\quad \theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{W}{2L}\bigr),
e de
\sin\theta = \frac{\lambda}{a} \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{\lambda}{\sin\theta}.
Logo, em forma fechada:
a = \frac{\lambda}{\sin\!\bigl(\arctan(\tfrac{W}{2L})\bigr)}.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos:
\frac{W}{2L} = \frac{1,6}{2\cdot0,80} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \theta = \arctan(1)=45^\circ,
\sin\theta = \sin(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}.
Portanto
a = \frac{0,60\times10^{-6}}{1/\sqrt{2}} =0,60\times10^{-6}\,\sqrt{2} \approx0,85\times10^{-6}\,\mathrm{m}.

Resposta

A abertura da fenda é aproximadamente
a \approx 8,5\times10^{-7}\,\mathrm{m}.

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