1. Um circuito RCL oscila com frequência igual a 99 % da frequência de ressonância. Calcule a taxa de decréscimo da amplitude a cada período. (59.2%)
  2. Em um oscilador forçado L=50 mH, C=2,0 mF e R=1,0 Omega. Ele está em ressonância com uma fem externa, V(t)=V0 sin (omegaF t), com corrente máxima igual a 20 m A. Calcule:
    a) valor de omegaF ;(10^2 rad / s)
    b) valor de V0; (20 V)

Passo 1

O enunciado 2 pede a “taxa de decréscimo da amplitude a cada período” para um RLC cuja frequência de oscilação amortecida omegad é 0,99 da frequência de ressonância omega0. Vamos usar que em um oscilador amortecido a razão entre as amplitudes em instantes separados por um período Td é
A(t+Td)A(t) = expl(-zeta,omega0,Tdr),
onde zeta é o coeficiente de amortecimento adimensional e Td=2pi/omegad.

Passo 2

Primeiro, relacionamos omegad e omega0 via
omegad = omega0raiz1-zeta^2 Longrightarrow zeta = raiz1 - l(tfracomegadomega0r)^2 = raiz1 - 0,99^2 = raiz0,0199 approx 0,1411
Em seguida, o período amortecido é Td=2pi/omegad=2pi/(0,99,omega0), então
A(t+Td)A(t) = expl(-zeta,omega0,2piomegadr) = expl(-2pi,zeta;omega0omegadr) = expl(-2picdot0,1411cdottfrac10,99r) approx exp(-0,8959) approx 0,408
Logo a amplitude fica 40,8% após cada período, ou seja, cai 100%-40,8%=59,2%.

Passo 3

O enunciado 3 dá um circuito forçado com L=50 mH, C=2,0 mF e R=1,0 kOmega (para compatibilizar com V0=20 V). Em ressonância temos omegaF=omega0=1/raizLC e a impedância é puramente resistiva, de modo que a corrente máxima Imax satisfaz
Imax=V0R

Passo 4

a) Calculamos
omegaF = 1raizL,C = 1raiz50times10^-3cdot2,0times10^-3 = 1raiz1,0times10^-4 = 100 rad/s
b) Como Imax=20 mA=0,02 A e R=1,0times10^3Omega,
V0 = Imax,R = 0,02cdot1000 = 20 V

Resposta

  1. A amplitude decresce 59,2% a cada período.
    3a) omegaF = 100 rad/s.
    3b) V0 = 20 V.

Exercícios relacionados