Um circuito RCL em série com tensão externa altertenarda da forma V(t)=V0 sin (omegaF t) tem V0=20 V, frequência angular de ressonâcia igual 1,0 times 10^3 rad / s, e corrente máxima de ressonância igual 2, 0 A. Observa-se que, no circuito, a corrente máxima será igual a 1,0 A quando omegaF for ajustado para 1,5 times 10^3 rad / s.Determine a indutância e a capacitância desse circuito. (L=21 mH ; 48 mu C)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com um circuito RCL em série que está sendo alimentado por uma tensão alternada. O que precisamos descobrir são os valores da indutância (L) e da capacitância © desse circuito. Para isso, vamos usar conceitos de resonância em circuitos RCL, além de relacionar as correntes máximas fornecidas no enunciado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece em um circuito RCL em série. A ressonância ocorre quando a frequência da fonte de tensão faz com que a reatância indutiva ( omega0 = 1raizLC ) e a reatância capacitiva ( ) se igualem, ou seja:
Onde:
  • é a frequência angular de ressonância.
  • é a indutância.
  • é a capacitância.
No ponto de ressonância, a impedância total do circuito é mínima e é igual apenas à resistência .

Passo 3

No enunciado, nos dizem que na frequência de ressonância I0 = V0R , a corrente máxima R = V0I0 = 20 , V2,0 , A = 10 , Omega é de 2,0 A. Sabemos que a corrente máxima em ressonância é dada por:
Onde:
  • é a amplitude da tensão (20 V).
  • é a resistência.
Vamos reorganizar essa fórmula para encontrar :

Passo 4

Agora, vamos analisar a situação quando a frequência angular I = V0|Z| é ajustada para |Z| = raizR^2 + ( omegaF L - 1omegaF C )^2 e a corrente máxima 1,0 , A = 20 , Vraiz10^2 + ( 1,5 times 10^3 L - 11,5 times 10^3 C )^2 é 1,0 A. A corrente nesse caso é dada por:
Onde é a impedância total do circuito na frequência . Sabemos que a impedância de um circuito RCL em série é:
Substituindo os valores que já conhecemos:

Passo 5

Vamos simplificar essa equação. Primeiro, isolamos a expressão da impedância:
raiz10^2 + ( 1,5 times 10^3 L - 11,5 times 10^3 C )^2 = 20 , V1,0 , A = 20 , Omega
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
10^2 + ( 1,5 times 10^3 L - 11,5 times 10^3 C )^2 = 20^2
100 + ( 1,5 times 10^3 L - 11,5 times 10^3 C )^2 = 400
Subtraindo 100 de ambos os lados:
( 1,5 times 10^3 L - 11,5 times 10^3 C )^2 = 300
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
1,5 times 10^3 L - 11,5 times 10^3 C = raiz300
1,5 times 10^3 L - 11,5 times 10^3 C approx 17,32

Passo 6

Agora, lembrando da fórmula da frequência de ressonância:
omega0 = 1raizLC
Podemos reorganizar para expressar C = 1omega0^2 L em função de C = 1(1,0 times 10^3)^2 times L = 110^6 L :
Substituindo :

Passo 7

Vamos substituir 1,5 times 10^3 L - 11,5 times 10^3 times ( 110^6 L ) = 17,32 na equação que obtivemos no Passo 5:
1,5 times 10^3 times 110^6 L = 1,5 times 10^310^6 L = 1,510^3 L
Simplificando o denominador da segunda fração:
1,5 times 10^3 L - 11,510^3 L = 17,32
Portanto:
1,5 times 10^3 L - 10^3 L1,5 = 17,32
1,5 times 10^3 L - 10^3 L1,5 = 17,32
Simplificando:
1,5 times 10^3 L - 23 times 10^3 L = 17,32
(1,5 - 23) times 10^3 L = 17,32
53 times 10^3 L = 17,32

Passo 8

Agora, isolamos L = 17,3253 times 10^3 = 17,32 times 35 times 10^3 = 51,965 times 10^3 = 0,010392 , H :
L = 0,010392 , H = 10,392 , mH
Convertendo para milihenries:
L approx 10,39 , mH
Aproximando para duas casas decimais:

Passo 9

Agora que temos C = 110^6 times 0,010392 approx 110^6 times 0,010392 = 110,392 times 10^-6 , F approx 96,18 , muF , vamos encontrar usando a relação que encontramos no Passo 6:

Resposta

A indutância do circuito é aproximadamente 10,39 mH e a capacitância é 96,18 µF.

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