Um circuito RCL em série com tensão externa altertenarda da forma
tem
, frequência angular de ressonâcia igual
, e corrente máxima de ressonância igual 2, 0 A. Observa-se que, no circuito, a corrente máxima será igual a
quando
for ajustado para
.Determine a indutância e a capacitância desse circuito.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com um circuito RCL em série que está sendo alimentado por uma tensão alternada. O que precisamos descobrir são os valores da indutância (L) e da capacitância © desse circuito. Para isso, vamos usar conceitos de resonância em circuitos RCL, além de relacionar as correntes máximas fornecidas no enunciado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece em um circuito RCL em série. A ressonância ocorre quando a frequência da fonte de tensão faz com que a reatância indutiva (
) e a reatância capacitiva (
) se igualem, ou seja:
Onde:
-
é a frequência angular de ressonância. -
é a indutância. -
é a capacitância.
No ponto de ressonância, a impedância total do circuito é mínima e é igual apenas à resistência
.
Passo 3
No enunciado, nos dizem que na frequência de ressonância
, a corrente máxima
é de 2,0 A. Sabemos que a corrente máxima em ressonância é dada por:
Onde:
-
é a amplitude da tensão (20 V). -
é a resistência.
Vamos reorganizar essa fórmula para encontrar
:
Passo 4
Agora, vamos analisar a situação quando a frequência angular
é ajustada para
e a corrente máxima
é 1,0 A. A corrente nesse caso é dada por:
Onde
é a impedância total do circuito na frequência
. Sabemos que a impedância de um circuito RCL em série é:
Substituindo os valores que já conhecemos:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação. Primeiro, isolamos a expressão da impedância:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Subtraindo 100 de ambos os lados:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
Passo 6
Agora, lembrando da fórmula da frequência de ressonância:
Podemos reorganizar para expressar
em função de
:
Substituindo
:
Passo 7
Vamos substituir
na equação que obtivemos no Passo 5:
Simplificando o denominador da segunda fração:
Portanto:
Simplificando:
Passo 8
Agora, isolamos
:
Convertendo para milihenries:
Aproximando para duas casas decimais:
Passo 9
Agora que temos
, vamos encontrar
usando a relação que encontramos no Passo 6:
Resposta
A indutância do circuito é aproximadamente 10,39 mH e a capacitância é 96,18 µF.