Considere um foguete subindo sob influência do campo gravitacional da Terra, suposto constante, com uma razão de perda de massa d m / d t=-alpha. Mostre que a altura atingida pelo foguete pode ser escrita como
y=u t-12 g t^2-(mo-alpha talpha) u ln (momo-alpha t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um foguete que está subindo na Terra e sofre a força da gravidade constante. Além disso, o foguete está perdendo massa ao longo do tempo com uma taxa constante, representada por $ \frac{dm}{dt} = -\alpha $. Nosso objetivo aqui é mostrar que a altura que o foguete atinge pode ser expressa pela fórmula:
dmdt = -alpha
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de física, especialmente as leis do movimento de Newton e como lidar com sistemas de massa variável.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à sua massa vezes a aceleração ($ F = m a $). No nosso caso, o foguete está subindo, então temos duas forças principais atuando nele: a força do motor (que empurra para cima) e a força da gravidade (que puxa para baixo).
Além disso, como a massa do foguete está diminuindo com o tempo, precisamos levar isso em conta. A taxa de perda de massa é $ \frac{dm}{dt} = -\alpha $.

Passo 3

Vamos montar a equação de movimento. A força resultante $ F $ será a força do motor menos a força da gravidade:
F
Segundo a segunda lei de Newton:
F = Fmotor - m g
Então:
F = m dvdt
A força do motor $ F_{motor} $ é relacionada à velocidade de exaustão dos gases, que chamaremos de $ u $, e à taxa de perda de massa:
Fmotor - m g = m dvdt
Substituindo na equação:
Fmotor

Passo 4

Agora, vamos rearranjar a equação para isolar $ \frac{dv}{dt} $:
dvdt
Lembrando que $ \frac{dm}{dt} = -\alpha $, podemos reescrever $ m $ em função do tempo:
dvdt = -u alpham - g
Substituindo na equação de $ \frac{dv}{dt} $:
dmdt = -alpha

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial que podemos integrar para encontrar a velocidade $ v(t) $. Integrando ambos os lados em relação ao tempo:
v(t)
A primeira parte da integral envolve uma fração que pode ser resolvida usando substituição, e a segunda parte é uma integral simples:
v(t) = integral ( -u alphamo - alpha t - g ) dt
Como, no tempo $ t = 0 $, a velocidade $ v(0) = 0 $, podemos encontrar a constante $ C = 0 $.
Então, a velocidade fica:
v(t) = u ln ( momo - alpha t ) - g t + C

Passo 6

Para encontrar a altura $ y(t) $, precisamos integrar a velocidade em relação ao tempo:
y(t)
Vamos integrar cada termo separadamente.
A integral de $ -g t $ é simples:
y(t) = integral v(t) dt = integral ( u ln ( momo - alpha t ) - g t ) dt
Para a parte com o logaritmo, vamos usar substituição. Seja $ u = m_{o} - \alpha t $, então $ du = -\alpha dt $, ou $ dt = -\frac{du}{\alpha} $. Substituindo:
-g t
Após resolver essa integral, você chega à expressão final combinando os termos.

Resposta

Finalmente, juntando tudo, a altura atingida pelo foguete em função do tempo $ t $ é:
t

Exercícios relacionados