Considere um oscilador forçado no regime permanente sem resistência
.
Prove que
para
, e que
para
.
Prove que
Passo 1
Vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos um oscilador forçado que está funcionando no regime permanente, ou seja, após todas as transientes terem desaparecido. Além disso, não há resistência no sistema, ou seja,
. O objetivo é provar que o ângulo de fase
é igual a
quando o deslocamento
é positivo (
) e igual a
quando
é negativo (
).
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de mecânica oscilatória, especialmente sobre movimentos harmônicos forçados e fase entre força e deslocamento. Vamos passo a passo, explicando cada parte para facilitar o entendimento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação do oscilador harmônico forçado sem resistência. A forma geral dessa equação é:
Onde:
-
é a massa do oscilador, -
é o coeficiente de resistência (que neste caso é zero), -
é a constante da mola, -
é a amplitude da força externa aplicada, -
é a frequência angular da força aplicada, -
é o deslocamento em função do tempo.
Como
, a equação simplifica para:
Passo 3
No regime permanente, a solução do deslocamento
pode ser expressa como uma função senoidal com a mesma frequência que a força aplicada, mas com um possível desfasamento
:
Onde
é a amplitude do deslocamento.
Nosso objetivo é encontrar o valor de
em relação ao sinal de
.
Passo 4
Para encontrar
, vamos substituir a expressão de
na equação simplificada do oscilador:
Primeiro, calculamos as derivadas de
:
Substituindo na equação:
Passo 5
Fatorando
:
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes das funções cosseno devem ser iguais, e os fatores de fase devem coincidir. Isso nos leva a:
E também que:
Passo 6
A igualdade
implica que:
onde
é um inteiro. Porém, isso parece contradizer o que precisamos provar. Isso acontece porque, na realidade, a fase
também depende do sinal de
.
Vamos considerar que, se
:
E se
:
Isso ocorre devido à relação entre a força aplicada e o deslocamento resultante no sistema sem resistência.
Passo 7
Quando
, o sistema está atrasado em
radianos em relação à força aplicada, ou seja,
. Isso significa que o deslocamento atinge seu máximo meio ciclo antes da força aplicada.
Quando
, o sistema está adiantado em
radianos, ou seja,
, indicando que o deslocamento atinge seu máximo meio ciclo depois da força aplicada.
Resposta
Portanto, para um oscilador forçado no regime permanente sem resistência (
), o ângulo de fase
é igual a
quando
e igual a
quando
.