Considere um oscilador forçado no regime permanente sem resistência (R=0).
Prove que alpha=-pi / 2 para X>0, e que alpha=pi / 2 para X<0.

Passo 1

Vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos um oscilador forçado que está funcionando no regime permanente, ou seja, após todas as transientes terem desaparecido. Além disso, não há resistência no sistema, ou seja, . O objetivo é provar que o ângulo de fase é igual a quando o deslocamento é positivo ( ) e igual a quando é negativo ( ).
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de mecânica oscilatória, especialmente sobre movimentos harmônicos forçados e fase entre força e deslocamento. Vamos passo a passo, explicando cada parte para facilitar o entendimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação do oscilador harmônico forçado sem resistência. A forma geral dessa equação é:
md^2xdt^2 + Rdxdt + kx = F0 cos(omega t)
Onde:
  • md^2xdt^2 + kx = F0 cos(omega t) é a massa do oscilador,
  • é o coeficiente de resistência (que neste caso é zero),
  • é a constante da mola,
  • é a amplitude da força externa aplicada,
  • é a frequência angular da força aplicada,
  • é o deslocamento em função do tempo.
Como , a equação simplifica para:

Passo 3

No regime permanente, a solução do deslocamento x(t) = X cos(omega t + alpha) pode ser expressa como uma função senoidal com a mesma frequência que a força aplicada, mas com um possível desfasamento :
Onde é a amplitude do deslocamento.
Nosso objetivo é encontrar o valor de em relação ao sinal de .

Passo 4

Para encontrar dxdt = -X omega sin(omega t + alpha) , vamos substituir a expressão de d^2xdt^2 = -X omega^2 cos(omega t + alpha) na equação simplificada do oscilador:
Primeiro, calculamos as derivadas de m(-X omega^2 cos(omega t + alpha)) + k X cos(omega t + alpha) = F0 cos(omega t) :
Substituindo na equação:

Passo 5

Fatorando (-m omega^2 + k) X cos(omega t + alpha) = F0 cos(omega t) :
(-m omega^2 + k) X = F0
Para que essa igualdade seja válida para todo cos(omega t + alpha) = cos(omega t) , os coeficientes das funções cosseno devem ser iguais, e os fatores de fase devem coincidir. Isso nos leva a:
E também que:

Passo 6

A igualdade alpha = 0 ou alpha = 2pi n implica que:
alpha = -pi2
onde alpha = pi2 é um inteiro. Porém, isso parece contradizer o que precisamos provar. Isso acontece porque, na realidade, a fase também depende do sinal de .
Vamos considerar que, se :
E se :
Isso ocorre devido à relação entre a força aplicada e o deslocamento resultante no sistema sem resistência.

Passo 7

Quando , o sistema está atrasado em radianos em relação à força aplicada, ou seja, . Isso significa que o deslocamento atinge seu máximo meio ciclo antes da força aplicada.
Quando , o sistema está adiantado em radianos, ou seja, , indicando que o deslocamento atinge seu máximo meio ciclo depois da força aplicada.

Resposta

Portanto, para um oscilador forçado no regime permanente sem resistência ( ), o ângulo de fase é igual a quando e igual a quando .

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