Para um oscilador forçado no regime permanente e em ressonância, prove que:
A energia dissipada no resistor em um ciclo completo é dado por
A energia dissipada no resistor em um ciclo completo é dado por
Passo 1
Vamos lá! A questão fala sobre um oscilador forçado que está no regime permanente e em ressonância. Nosso objetivo é provar que a energia dissipada no resistor em um ciclo completo é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de corrente alternada (CA), impedância, ressonância, e como calcular a energia dissipada em um resistor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um circuito RLC (Resistor, Indutor, Capacitor) forçado por uma fonte de tensão alternada, a corrente no circuito pode ser determinada usando a impedância total. A impedância
combina a resistência
, a reatância indutiva
e a reatância capacitiva
:
Onde
é a frequência angular da fonte.
Passo 3
No regime permanente e em ressonância, a reatância indutiva e capacitiva se anulam porque:
Assim, a impedância total no ponto de ressonância é apenas a resistência
:
Passo 4
A corrente
no circuito pode ser expressa pela Lei de Ohm para CA:
No ponto de ressonância, substituímos
por
:
Passo 5
A potência instantânea dissipada no resistor é dada por:
Substituindo
:
Passo 6
Para encontrar a energia dissipada em um ciclo completo, integramos a potência sobre o período
:
Resposta
A energia dissipada no resistor em um ciclo completo é: