Para um oscilador forçado no regime permanente e em ressonância, prove que:
A energia dissipada no resistor em um ciclo completo é dado por
Ud i s=-pi V0^2omega R

Passo 1

Vamos lá! A questão fala sobre um oscilador forçado que está no regime permanente e em ressonância. Nosso objetivo é provar que a energia dissipada no resistor em um ciclo completo é dada por:
Ud i s = -pi V0^2omega R
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de corrente alternada (CA), impedância, ressonância, e como calcular a energia dissipada em um resistor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um circuito RLC (Resistor, Indutor, Capacitor) forçado por uma fonte de tensão alternada, a corrente no circuito pode ser determinada usando a impedância total. A impedância Z = raizR^2 + (XL - XC)^2 combina a resistência , a reatância indutiva e a reatância capacitiva :
Onde é a frequência angular da fonte.

Passo 3

No regime permanente e em ressonância, a reatância indutiva e capacitiva se anulam porque:
XL = XC Rightarrow omega L = 1omega C
Assim, a impedância total no ponto de ressonância é apenas a resistência Z = R :

Passo 4

A corrente I = V0Z no circuito pode ser expressa pela Lei de Ohm para CA:
I = V0R
No ponto de ressonância, substituímos por :

Passo 5

A potência instantânea dissipada no resistor é dada por:
P(t) = I^2 R
Substituindo P(t) = ( V0R )^2 R = V0^2R :

Passo 6

Para encontrar a energia dissipada em um ciclo completo, integramos a potência sobre o período Ud i s = integral0^T P(t) , dt = V0^2R times T = V0^2R times 2piomega = 2pi V0^2omega R :

Resposta

A energia dissipada no resistor em um ciclo completo é:
Ud i s = -pi V0^2omega R

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