Classifique cada afirmaçāo como Verdadeira ou Falsa. Justifique cada resposta demonstrando, caso seja Verdadeira, ou dando um contra-exemplo, caso seja Falsa.
a) A soma de dois subespaços vetoriais nunca pode ser vazia.
b) Se
e
então todo conjunto com
vetores não-nulos é linearmente independente.
a) A soma de dois subespaços vetoriais nunca pode ser vazia.
b) Se
Passo 1
O enunciado pede para decidir se cada afirmação sobre espaços vetoriais é verdadeira ou falsa.
Conteúdos envolvidos: soma de subespaços vetoriais, dimensão de um espaço vetorial e independência linear.
Para resolver vamos usar:
Conteúdos envolvidos: soma de subespaços vetoriais, dimensão de um espaço vetorial e independência linear.
Para resolver vamos usar:
- Que todo subespaço contém o vetor nulo.
- Definição de soma de subespaços
. - Contra-exemplo para independência linear.
Passo 2
Afirmação (a): “A soma de dois subespaços vetoriais nunca pode ser vazia.”
Demonstração: todo subespaço vetorial contém
. Sejam
e
subespaços de
. Então
e
. Logo
Demonstração: todo subespaço vetorial
ou seja,
sempre contém
e não pode ser o conjunto vazio. Portanto, a afirmação é verdadeira.
Passo 3
Afirmação (b): “Se
e
então todo conjunto com
vetores não-nulos é linearmente independente.”
Contra-exemplo para mostrar que é falsa: seja com
. Tome
vetores todos proporcionais a um mesmo
, por exemplo
Contra-exemplo para mostrar que é falsa: seja
Cada
é não-nulo, mas todos são múltiplos de
, logo há relação linear não trivial
e, de fato, qualquer combinação apropriada anula o conjunto. Assim, nem todo conjunto de
vetores não-nulos precisa ser independente. A afirmação é falsa.
Resposta
a) Verdadeira
b) Falsa
b) Falsa