Classifique cada afirmaçāo como Verdadeira ou Falsa. Justifique cada resposta demonstrando, caso seja Verdadeira, ou dando um contra-exemplo, caso seja Falsa.
a) A soma de dois subespaços vetoriais nunca pode ser vazia.
b) Se p \geqslant 2 e \operatorname{dim} V=p então todo conjunto com p-1 vetores não-nulos é linearmente independente.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se cada afirmação sobre espaços vetoriais é verdadeira ou falsa.
Conteúdos envolvidos: soma de subespaços vetoriais, dimensão de um espaço vetorial e independência linear.
Para resolver vamos usar:
  • Que todo subespaço contém o vetor nulo.
  • Definição de soma de subespaços U+W=\{u+w\mid u\in U,\;w\in W\}.
  • Contra-exemplo para independência linear.

Passo 2

Afirmação (a): “A soma de dois subespaços vetoriais nunca pode ser vazia.”
Demonstração: todo subespaço vetorial U contém \mathbf0. Sejam U e W subespaços de V. Então \mathbf0\in U e \mathbf0\in W. Logo
\mathbf0+\mathbf0=\mathbf0\in U+W,
ou seja, U+W sempre contém \mathbf0 e não pode ser o conjunto vazio. Portanto, a afirmação é verdadeira.

Passo 3

Afirmação (b): “Se p\ge2 e \dim V=p então todo conjunto com p-1 vetores não-nulos é linearmente independente.”
Contra-exemplo para mostrar que é falsa: seja V=\mathbb R^p com p\ge3. Tome p-1 vetores todos proporcionais a um mesmo \mathbf v\neq\mathbf0, por exemplo
\mathbf v_1=(1,0,0,\dots,0),\quad \mathbf v_2=(2,0,0,\dots,0),\quad \ldots,\quad \mathbf v_{p-1}=(p-1,0,0,\dots,0).
Cada \mathbf v_i é não-nulo, mas todos são múltiplos de \mathbf v_1, logo há relação linear não trivial
2\mathbf v_1-\mathbf v_2=0
e, de fato, qualquer combinação apropriada anula o conjunto. Assim, nem todo conjunto de p-1 vetores não-nulos precisa ser independente. A afirmação é falsa.

Resposta

a) Verdadeira
b) Falsa

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