Em um circuito RLC a carga
no capacitor satisfaz a EDO
a)
Encontre a forma da solução geral usando o método do anulador
b) [2, 0] Encontre a solução do PVI usando a transformada de Laplace
b) [2, 0] Encontre a solução do PVI usando a transformada de Laplace
Passo 1
O enunciado diz que a carga
num circuito RLC satisfaz a equação
e pede:
a) a forma da solução geral via método do anulador;
b) a solução do problema de valor inicial (PVI) usando transformada de Laplace, com
a) a forma da solução geral via método do anulador;
b) a solução do problema de valor inicial (PVI) usando transformada de Laplace, com
O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes, não-homogênea, e vamos usar método do anulador para a parte geral e transformada de Laplace para o PVI.
Passo 2
Aplicando o método do anulador:
- A equação homogênea é
com equação característica
logo
duplo e
- Para a parte particular, o termo forçante é
. Como é raiz dupla, tomamos o ansatz
Calculando
e substituindo em
, obtemos
Portanto a solução geral é
Passo 3
Agora resolvemos o PVI com transformada de Laplace. Seja
. Aplicando
em
e usando
,
,
,
obtemos
obtemos
Como
e
, temos
Para inverter, escrevemos com
:
Passo 4
Invertemos termo a termo:
Logo a solução do PVI é
Resposta
(a) A solução geral é
(b) A solução do PVI é