Em um circuito RLC a carga q(t) no capacitor satisfaz a EDO
q^{\prime \prime}+6 q^{\prime}+9 q=5 e^{-3 t}
a) [1,0] Encontre a forma da solução geral usando o método do anulador
b) [2, 0] Encontre a solução do PVI usando a transformada de Laplace
q(0)=1 \quad q^{\prime}(0)=2

Passo 1

O enunciado diz que a carga q(t) num circuito RLC satisfaz a equação
q'' + 6\,q' + 9\,q = 5\,e^{-3t},
e pede:
a) a forma da solução geral via método do anulador;
b) a solução do problema de valor inicial (PVI) usando transformada de Laplace, com
q(0)=1,\qquad q'(0)=2.
O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes, não-homogênea, e vamos usar método do anulador para a parte geral e transformada de Laplace para o PVI.

Passo 2

Aplicando o método do anulador:
  1. A equação homogênea é
q'' + 6\,q' + 9\,q = 0
com equação característica
r^2 + 6r + 9 = 0 \;\Longrightarrow\;(r+3)^2 = 0,
logo r=-3 duplo e
q_h(t) = C_1 e^{-3t} + C_2\,t\,e^{-3t}.
  1. Para a parte particular, o termo forçante é 5e^{-3t}. Como -3 é raiz dupla, tomamos o ansatz
q_p(t) = A\,t^2\,e^{-3t}.
Calculando
q_p' = e^{-3t}(2A t - 3A t^2), \qquad q_p'' = e^{-3t}(2A - 12A t + 9A t^2),
e substituindo em q''+6q'+9q, obtemos
e^{-3t}\bigl(2A\bigr) = 5\,e^{-3t} \quad\Longrightarrow\quad 2A = 5 \quad\Longrightarrow\quad A = \tfrac52.
Portanto a solução geral é
q(t) = C_1 e^{-3t} + C_2\,t\,e^{-3t} + \tfrac52\,t^2\,e^{-3t}.

Passo 3

Agora resolvemos o PVI com transformada de Laplace. Seja Q(s)=\mathcal L\{q(t)\}. Aplicando \mathcal L em
q'' + 6q' + 9q = 5e^{-3t},
e usando \mathcal L\{q''\}=s^2Q(s)-s\,q(0)-q'(0), \mathcal L\{q'\}=sQ(s)-q(0), \mathcal L\{e^{-3t}\}=1/(s+3),
obtemos
\bigl(s^2+6s+9\bigr)Q(s) - \bigl(s\cdot1 + 2\bigr) - 6\cdot1 = \frac{5}{s+3}.
Como s^2+6s+9=(s+3)^2 e -s-2-6=-s-8, temos
(s+3)^2\,Q(s) - (s+8) = \frac{5}{s+3} \quad\Longrightarrow\quad Q(s) = \frac{\frac{5}{s+3} + (s+8)}{(s+3)^2} = \frac{s^2+11s+29}{(s+3)^3}.
Para inverter, escrevemos com u=s+3:
Q(s)=\frac{u^2+5u+5}{u^3} = \frac{1}{u} + \frac{5}{u^2} + \frac{5}{u^3} =\frac{1}{s+3} + \frac{5}{(s+3)^2} + \frac{5}{(s+3)^3}.

Passo 4

Invertemos termo a termo:
\mathcal L^{-1}\!\Bigl\{\tfrac1{s+3}\Bigr\}=e^{-3t}, \quad \mathcal L^{-1}\!\Bigl\{\tfrac5{(s+3)^2}\Bigr\}=5\,t\,e^{-3t}, \quad \mathcal L^{-1}\!\Bigl\{\tfrac5{(s+3)^3}\Bigr\}=\tfrac{5}{2}\,t^2\,e^{-3t}.
Logo a solução do PVI é
q(t) = e^{-3t} + 5\,t\,e^{-3t} + \tfrac52\,t^2\,e^{-3t}.

Resposta

(a) A solução geral é
q(t) = C_1 e^{-3t} + C_2\,t\,e^{-3t} + \tfrac52\,t^2\,e^{-3t}.
(b) A solução do PVI é
q(t) = e^{-3t} + 5\,t\,e^{-3t} + \tfrac52\,t^2\,e^{-3t}.

Exercícios relacionados