Questão 2. (2,5) Utilize o Método dos Coeficientes a Determinar para solver o PVI a seguir, sabendo que F_{0} é una constante e que x_{p}(t)= At \cos \omega t+ \operatorname{sen} \omega t.
\left\{\begin{array}{c} \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\omega^{2} x=F_{0} \operatorname{sen} \omega t \\\ x(0)=0 \\\ x^{\prime}(0)=0 \end{array}\right.

Passo 1

O problema é o valor inicial
\begin{cases} x''(t)+\omega^{2}x(t)=F_{0}\,\sin(\omega t),\\\ x(0)=0,\\\ x'(0)=0, \end{cases}
que é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante ressonante. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que envolve (i) achar a solução geral da homogênea e (ii) propor uma solução particular compatível com o termo forçante.

Passo 2

A equação homogênea associada é
x''+\omega^{2}x=0,
cuja equação característica é r^{2}+\omega^{2}=0, de raízes r=\pm\,\mathrm{i}\omega. Logo a solução geral da homogênea é
x_{h}(t)=C_{1}\cos(\omega t)+C_{2}\sin(\omega t).

Passo 3

Como o termo forçante \sin(\omega t) já aparece na homogênea, há ressonância. Então propomos
x_{p}(t)=A\,t\cos(\omega t)+B\,t\sin(\omega t).
Derivando:
x_{p}'(t)=A\cos(\omega t)-A\omega t\sin(\omega t)+B\sin(\omega t)+B\omega t\cos(\omega t),
x_{p}''(t)=-2A\omega\sin(\omega t)+2B\omega\cos(\omega t)-A\omega^{2}t\cos(\omega t)-B\omega^{2}t\sin(\omega t).
Substituindo em x''+\omega^{2}x=F_{0}\sin(\omega t) temos
x_{p}''+\omega^{2}x_{p}=-2A\omega\sin(\omega t)+2B\omega\cos(\omega t)
deve ser igual a F_{0}\sin(\omega t). Assim comparamos coeficientes:
para \cos(\omega t)\colon 2B\omega=0\implies B=0,
para \sin(\omega t)\colon -2A\omega=F_{0}\implies A=-\frac{F_{0}}{2\omega}.

Passo 4

A solução geral do PVI é
x(t)=C_{1}\cos(\omega t)+C_{2}\sin(\omega t)-\frac{F_{0}}{2\omega}\,t\cos(\omega t).
Usando x(0)=0 obtemos C_{1}=0. Derivando
x'(t)=C_{2}\,\omega\cos(\omega t)-\frac{F_{0}}{2\omega}\bigl[\cos(\omega t)-\omega t\sin(\omega t)\bigr],
e impondo x'(0)=0
C_{2}\,\omega-\frac{F_{0}}{2\omega}=0\quad\Longrightarrow\quad C_{2}=\frac{F_{0}}{2\omega^{2}}.

Resposta

x(t)=\frac{F_{0}}{2\omega^{2}}\sin(\omega t)\;-\;\frac{F_{0}}{2\omega}\,t\cos(\omega t).

Exercícios relacionados