Questão 2. (2,5) Utilize o Método dos Coeficientes a Determinar para solver o PVI a seguir, sabendo que F_{0} é una constante e que x_{p}(t)= At \cos \omega t+\operatorname{sen} \omega t.
que é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante ressonante. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que envolve (i) achar a solução geral da homogênea e (ii) propor uma solução particular compatível com o termo forçante.
Passo 2
A equação homogênea associada é
x''+\omega^{2}x=0,
cuja equação característica é r^{2}+\omega^{2}=0, de raízes r=\pm\,\mathrm{i}\omega. Logo a solução geral da homogênea é
x_{h}(t)=C_{1}\cos(\omega t)+C_{2}\sin(\omega t).
Passo 3
Como o termo forçante \sin(\omega t) já aparece na homogênea, há ressonância. Então propomos
deve ser igual a F_{0}\sin(\omega t). Assim comparamos coeficientes:
para \cos(\omega t)\colon 2B\omega=0\implies B=0,
para \sin(\omega t)\colon -2A\omega=F_{0}\implies A=-\frac{F_{0}}{2\omega}.