Questão 1. (4,5) Resolva as Equações Diferenciais Ordinárias a seguir com todos os detalhes.
(1,5) y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}+6 y=\operatorname{sen} x-\cos 2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem
y'' + 5y' + 6y = \sin x - \cos 2x
com coeficientes constantes. Vamos usar o método clássico: primeiro achamos a solução geral da equação homogênea associada e, em seguida, obtemos uma solução particular por coeficientes indeterminados.

Passo 2

Equação homogênea associada:
y'' + 5y' + 6y = 0.
A equação característica é
r^2 + 5r + 6 = 0,
cujas raízes são
r = -2,\quad r = -3.
Logo, a solução geral da parte homogênea é
y_h(x) = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-3x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p da não-homogênea. Como o lado direito é \sin x - \cos 2x, vamos escrever
y_p(x) = y_{p1}(x) + y_{p2}(x),
onde y_{p1} atende a \sin x e y_{p2} atende a -\cos 2x.

Passo 4

Para a parcela que corresponde a \sin x, tomamos o ansatz
y_{p1}(x) = M\cos x + N\sin x.
Então
y_{p1}' = -M\sin x + N\cos x,\quad y_{p1}'' = -M\cos x - N\sin x.
Substituindo em y''+5y'+6y:
(-M\cos x - N\sin x) +5(-M\sin x + N\cos x) +6(M\cos x + N\sin x).
Agrupando coeficientes de \cos x e \sin x, obtemos
(5M+5N)\cos x + (-5M+5N)\sin x.
Como isso deve igualar \sin x, impomos o sistema
5M + 5N = 0,
-5M + 5N = 1.
Da primeira equação vem M+N=0, e da segunda -M+N=\tfrac15. Resolvendo:
M = -\tfrac1{10},\quad N = \tfrac1{10}.
Logo
y_{p1}(x) = -\tfrac1{10}\cos x + \tfrac1{10}\sin x.

Passo 5

Para a parcela que corresponde a -\cos 2x, usamos
y_{p2}(x) = P\cos 2x + Q\sin 2x.
Derivando:
y_{p2}' = -2P\sin 2x + 2Q\cos 2x,\quad y_{p2}'' = -4P\cos 2x -4Q\sin 2x.
Substituindo em y''+5y'+6y obtemos
(-4P\cos 2x -4Q\sin 2x) +5(-2P\sin 2x +2Q\cos 2x) +6(P\cos 2x +Q\sin 2x),
que se simplifica a
(2P+10Q)\cos 2x + (-10P+2Q)\sin 2x.
Queremos que isso seja -\cos2x, isto é,
2P + 10Q = -1,
-10P + 2Q = 0.
Da segunda equação 2Q=10P Q=5P. Substituindo na primeira:
2P + 10\,(5P) = 52P = -1 \quad\Rightarrow\quad P = -\tfrac1{52},\quad Q = -\tfrac5{52}.
Assim
y_{p2}(x) = -\tfrac1{52}\cos 2x - \tfrac5{52}\sin 2x.

Passo 6

A solução geral da equação completa é
y(x) = y_h(x) + y_{p1}(x) + y_{p2}(x) = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-3x} -\tfrac1{10}\cos x + \tfrac1{10}\sin x -\tfrac1{52}\cos 2x - \tfrac5{52}\sin 2x.

Resposta

y(x) = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-3x} -\frac{1}{10}\cos x + \frac{1}{10}\sin x -\frac{1}{52}\cos 2x - \frac{5}{52}\sin 2x.

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