Questão 1. (4,5) Resolva as Equações Diferenciais Ordinárias a seguir com todos os detalhes.
(1,5)
(1,5)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem
com coeficientes constantes. Vamos usar o método clássico: primeiro achamos a solução geral da equação homogênea associada e, em seguida, obtemos uma solução particular por coeficientes indeterminados.
Passo 2
Equação homogênea associada:
A equação característica é
cujas raízes são
Logo, a solução geral da parte homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
da não-homogênea. Como o lado direito é
, vamos escrever
onde
atende a
e
atende a
.
Passo 4
Para a parcela que corresponde a
, tomamos o ansatz
Então
Substituindo em
:
Agrupando coeficientes de
e
, obtemos
Como isso deve igualar
, impomos o sistema
Da primeira equação vem
, e da segunda
. Resolvendo:
Logo
Passo 5
Para a parcela que corresponde a
, usamos
Derivando:
Substituindo em
obtemos
que se simplifica a
Queremos que isso seja
, isto é,
Da segunda equação
dá
. Substituindo na primeira:
Assim
Passo 6
A solução geral da equação completa é