Seja f a função periódica de período 2 pi definida por:
f(x)=rr 0, & -pi <= x<0 sen x, & 0 <= x<pi
Se a expansão se escreve como a02+sumn=1^infty an cos n x+bn sen n x, calcule o valor de sumn=1^infty an.

Passo 1

O enunciado pede a soma dos coeficientes an da série de Fourier de período 2pi da função
f(x)= 0, & -pi <= x<0, sin x, & 0<= x<pi
O conteúdo envolvido é o cálculo de coeficientes de Fourier do tipo
a02 + sumn=1^inftyl(ancos nx + bnsin nxr),
e vamos precisar da fórmula
an = 1piintegral-pi^pi f(x)cos(nx),dx

Passo 2

Como f(x)=0 em [-pi,0), a integral para an reduz a
an = 1piintegral0^pisin xcos(nx),dx
Denotemos
In = integral0^pisin xcos(nx),dx

Passo 3

Para calcular In usamos a identidade
sin xcos(nx) =tfrac12l(sin((n+1)x)+sin((1-n)x)r)
Logo
In =12integral0^pisin((n+1)x),dx +12integral0^pisin((1-n)x),dx
Cada termo integra para
integral0^pisin(kx),dx =1-(-1)^kk,
de modo que, após simplificar, obtém-se
In =-1+(-1)^n,n^2-1,

Passo 4

Desse modo
an=Inpi =-1+(-1)^npi,(n^2-1)
Repare que 1+(-1)^n só é não-nulo quando n é par, digamos n=2k, e daí
a2k =-2pil((2k)^2-1r) =-2pi(4k^2-1)

Passo 5

Portanto
sumn=1^inftyan =sumk=1^inftya2k =-2pisumk=1^infty14k^2-1
Como
14k^2-1 =12l(12k-1-12k+1r),
a soma telescopa e dá tfrac12. Logo
sumn=1^inftyan =-2picdot12 =-1pi

Resposta

-tfrac1pi

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