Seja f a função periódica de período 2 pi definida por:
f(x)=rr 0, & -pi <= x<0 sen x, & 0 <= x<pi
Calcule a expansão em série de Fourier de f.

Passo 1

O enunciado diz que
Precisamos expandir , e pelas fórmulas de integração.

Passo 2

Calcular
a0=1piintegral-pi^pif(x),dx =1pil(integral-pi^00,dx+integral0^pisin x,dxr) =1pil[-cos xr]0^pi =2pi
Logo
a02=1pi

Passo 3

Para n>=1,
an=1piintegral-pi^pif(x)cos(nx),dx =1piintegral0^pisin xcos(nx),dx
Usando
sin xcos(nx) =tfrac12l[sin((n+1)x)+sin((1-n)x)r]
e integrando de 0 a pi, obtém-se
integral0^pisin xcos(nx),dx =-1+(-1)^n,n^2-1,
Logo
an =-1+(-1)^npi,(n^2-1),
que se anula para n ímpar e, para n=2m, fica
a2m =-2pi,(4m^2-1)

Passo 4

Para n>=1,
bn=1piintegral-pi^pif(x)sin(nx),dx =1piintegral0^pisin xsin(nx),dx
Com
sin xsin(nx) =tfrac12l[cos((n-1)x)-cos((n+1)x)r],
vemos que todos os termos se anulam exceto quando n=1. Nesse caso
integral0^pisin xsin x,dx =integral0^pisin^2x,dx =pi2,
portanto
b1=12, bn=0(n>1)

Passo 5

Substituindo em
f(x)sima02+sumn=1^inftyl(ancos(nx)+bnsin(nx)r)
temos
f(x) =1pi +12sin x +summ=1^inftya2mcos(2m x),
onde a2m=-tfrac2pi(4m^2-1). Então
f(x) =1pi +12sin x -2pisumm=1^inftycos(2m x)4m^2-1

Resposta

boxed f(x) =1pi +12sin x -2pisumm=1^inftycos(2m x)4m^2-1

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