Em um circuito RLC com força eletromotriz ligada a partir do instante t=7, a carga q(t) no capacitor satizfaz o p.v.i.:
q^prime prime(t)+4 q^prime(t)+3 q(t)=u7(t) 10 e^-2(t-7)
com q(0)=2 e q^prime(0)=-2.
Determine a transformada de Laplace da solução q(t) do p.v.i.;

Passo 1

O enunciado dá o p.v.i.
Queremos usar transformada de Laplace para encontrar
. Vamos precisar das fórmulas de transformação para derivadas e do teorema do deslocamento para o degrau .

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace ao lado esquerdo e usando
obtemos
Reunindo termos, isso vira

Passo 3

Agora a transformada do lado direito usa o teorema do segundo deslocamento:
onde aqui . Logo
e

Passo 4

Igualando as duas transformadas, temos
(s^2+4s+3),Q(s)-(2s+6) = e^-7s,10s+2
Então
(s^2+4s+3),Q(s) =2s+6 ;+; e^-7s,10s+2
Isolando Q(s), note que s^2+4s+3=(s+1)(s+3).

Passo 5

Dividindo tudo por (s+1)(s+3), obtemos a transformada da solução:
Q(s) =2s+6(s+1)(s+3) ;+; 10,e^-7s(s+2)(s+1)(s+3)

Resposta

Q(s) =2s+6(s+1)(s+3) ;+; 10,e^-7s(s+2)(s+1)(s+3)

Exercícios relacionados