Seja f(x, y)=x^2-3 x y^5+2 x. Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=x^2-3xy^5+2x
e pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem. O conteúdo é cálculo de derivadas parciais, ou seja, diferenciar em relação a uma variável tratando a outra como constante.

Passo 2

Para obter partial fpartial x, tratamos y como constante. Diferenciando termo a termo:
  • partialpartial x(x^2)=2x,
  • partialpartial x(-3xy^5)=-3y^5,
  • partialpartial x(2x)=2.
    Logo,
partial fpartial x=2x-3y^5+2

Passo 3

Para obter partial fpartial y, tratamos x como constante. Diferenciando:
  • partialpartial y(x^2)=0,
  • partialpartial y(-3xy^5)=-3xcdot5y^4=-15xy^4,
  • partialpartial y(2x)=0.
    Logo,
partial fpartial y=-15xy^4

Passo 4

Para calcular partial^2fpartial x^2, diferenciamos partial fpartial x=2x-3y^5+2 em relação a x:
  • partialpartial x(2x)=2,
  • os outros termos são constantes em x.
    Logo,
partial^2fpartial x^2=2

Passo 5

Para calcular partial^2fpartial xpartial y, diferenciamos partial fpartial x=2x-3y^5+2 em relação a y:
  • partialpartial y(2x)=0,
  • partialpartial y(-3y^5)=-15y^4,
  • partialpartial y(2)=0.
    Logo,
partial^2fpartial xpartial y=-15y^4

Passo 6

Para calcular partial^2fpartial ypartial x, diferenciamos partial fpartial y=-15xy^4 em relação a x:
  • partialpartial x(-15xy^4)=-15y^4.
    Logo,
partial^2fpartial ypartial x=-15y^4

Passo 7

Para calcular partial^2fpartial y^2, diferenciamos partial fpartial y=-15xy^4 em relação a y:
  • partialpartial y(-15xy^4)=-15xcdot4y^3=-60xy^3.
    Logo,
partial^2fpartial y^2=-60xy^3

Resposta

partial fpartial x=2x-3y^5+2
partial fpartial y=-15xy^4
partial^2fpartial x^2=2
partial^2fpartial xpartial y=-15y^4
partial^2fpartial ypartial x=-15y^4
partial^2fpartial y^2=-60xy^3

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