Usando a transformada de Laplace, resolva os problemas de valor inicial dados:
e
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema de valor inicial usando a transformada de Laplace. A questão nos dá uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais:
Vamos precisar conhecer as regras da transformada de Laplace para derivadas e como aplicá-las para resolver equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial. Lembrando que:
onde
é a transformada de Laplace de
.
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace na equação:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Agora, substituímos as condições iniciais
e
:
Vamos simplificar isso.
Passo 5
Distribuindo os 2 nos termos:
Agora, vamos agrupar os termos que contêm
e os constantes:
Passo 6
Isolando
:
Então:
Passo 7
Vamos simplificar o denominador dividindo por 2:
Agora, precisamos decompor essa fração para facilitar a inversão da transformada.
Passo 8
Completemos o quadrado no denominador
:
Então:
Passo 9
Agora, separamos a fração em duas partes:
Simplificando:
Passo 10
Reconhecemos que essas frações correspondem às transformadas de funções trigonométricas:
Aqui,
a = 12 e
b = raiz32 .
Passo 11
Então, aplicando a inversa da transformada de Laplace:
Simplificando:
Resposta
A solução da equação diferencial é: