Usando a transformada de Laplace, resolva os problemas de valor inicial dados:
2 y^prime prime+2 y^prime+2 y=0, y(0)=12 e y^prime(0)=32;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de valor inicial usando a transformada de Laplace. A questão nos dá uma equação diferencial de segunda ordem:
2 y'' + 2 y' + 2 y = 0
com as condições iniciais:
y(0) = 12 e y'(0) = 32
Vamos precisar conhecer as regras da transformada de Laplace para derivadas e como aplicá-las para resolver equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial. Lembrando que:
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
Ly' = s Y(s) - y(0)
Ly = Y(s)
onde Y(s) é a transformada de Laplace de y(t).

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace na equação:
2 Ly'' + 2 Ly' + 2 Ly = L0
Sabemos que L0 = 0, então:
2(s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)) + 2(s Y(s) - y(0)) + 2 Y(s) = 0

Passo 4

Agora, substituímos as condições iniciais y(0) = 12 e y'(0) = 32:
2(s^2 Y(s) - s cdot 12 - 32) + 2(s Y(s) - 12) + 2 Y(s) = 0
Vamos simplificar isso.

Passo 5

Distribuindo os 2 nos termos:
2 s^2 Y(s) - s - 3 + 2 s Y(s) - 1 + 2 Y(s) = 0
Agora, vamos agrupar os termos que contêm Y(s) e os constantes:
(2 s^2 + 2 s + 2) Y(s) - s - 4 = 0

Passo 6

Isolando Y(s):
(2 s^2 + 2 s + 2) Y(s) = s + 4
Então:
Y(s) = s + 42 s^2 + 2 s + 2

Passo 7

Vamos simplificar o denominador dividindo por 2:
Y(s) = s + 42(s^2 + s + 1) = 12 cdot s + 4s^2 + s + 1
Agora, precisamos decompor essa fração para facilitar a inversão da transformada.

Passo 8

Completemos o quadrado no denominador s^2 + s + 1:
s^2 + s + 1 = (s + 12)^2 + 34
Então:
Y(s) = 12 cdot s + 4(s + 12)^2 + (raiz32)^2

Passo 9

Agora, separamos a fração em duas partes:
Y(s) = 12 [ s + 12(s + 12)^2 + (raiz32)^2 + 4 - 12(s + 12)^2 + (raiz32)^2 ]
Simplificando:
Y(s) = 12 [ s + 12(s + 12)^2 + (raiz32)^2 + 72(s + 12)^2 + (raiz32)^2 ]

Passo 10

Reconhecemos que essas frações correspondem às transformadas de funções trigonométricas:
Le^-at cos(bt) = s + a(s + a)^2 + b^2
Le^-at sin(bt) = b(s + a)^2 + b^2
Aqui, a = 12 e b = raiz32.

Passo 11

Então, aplicando a inversa da transformada de Laplace:
y(t) = 12 [ e^-12 t cos(raiz32 t) + 72 cdot 2raiz3 e^-12 t sin(raiz32 t) ]
Simplificando:
y(t) = 12 e^-12 t cos(raiz32 t) + 72raiz3 e^-12 t sin(raiz32 t)

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = 12 e^-12 t cos(raiz32 t) + 72raiz3 e^-12 t sin(raiz32 t)

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