Em um circuito RLC com força eletromotriz ligada a partir do instante
, a carga
no capacitor satizfaz o p.v.i.:
e
.
via transformada de Laplace, determine a solução
do p.v.i.
via transformada de Laplace, determine a solução
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de circuito RLC usando a Transformada de Laplace. O problema nos dá uma equação diferencial que descreve a carga no capacitor ao longo do tempo, junto com algumas condições iniciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a Transformada de Laplace em equações diferenciais, especialmente quando temos termos como a função degrau unitário
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que temos:
Aqui,
é a carga no capacitor em função do tempo, e temos condições iniciais:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
e
onde
é a Transformada de Laplace de
.
Passo 4
Aplicando a Transformada de Laplace na equação diferencial inteira, temos:
Substituindo as transformadas das derivadas:
Simplificando:
Passo 5
Vamos juntar os termos com
:
Agora, precisamos encontrar a Transformada de Laplace do lado direito. Usamos a propriedade da Transformada de Laplace para funções com atraso, que é:
onde
é a Transformada de Laplace de
.
Passo 6
No nosso caso,
e
. Então:
Passo 7
Substituindo de volta na equação:
Agora, isolamos
:
Passo 8
Vamos decompor a fração em partes mais simples para facilitar a inversa. Primeiro, simplificamos o termo sem o atraso:
Podemos decompor isso em frações parciais:
Resolvendo para A e B, encontramos:
Então:
Passo 9
Agora, para o termo com atraso:
Isso envolve convolução e propriedades de atraso na Transformada de Laplace, resultando em termos que serão ativados a partir de
.
Passo 10
Finalmente, aplicando a Transformada Inversa de Laplace a cada termo, obtemos:
Após calcular a convolução e simplificar, chegamos à solução completa.
Resposta
A solução para a carga no capacitor é dada por