Em um circuito RLC com força eletromotriz ligada a partir do instante t=7, a carga q(t) no capacitor satizfaz o p.v.i.:
q^prime prime(t)+4 q^prime(t)+3 q(t)=u7(t) 10 e^-2(t-7)
com q(0)=2 e q^prime(0)=-2.
via transformada de Laplace, determine a solução q(t) do p.v.i.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de circuito RLC usando a Transformada de Laplace. O problema nos dá uma equação diferencial que descreve a carga no capacitor ao longo do tempo, junto com algumas condições iniciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a Transformada de Laplace em equações diferenciais, especialmente quando temos termos como a função degrau unitário u7(t) .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que temos:
q''(t) + 4 q'(t) + 3 q(t) = u7(t) cdot 10 e^-2(t-7)
Aqui, q(t) é a carga no capacitor em função do tempo, e temos condições iniciais:
q(0) = 2 e q'(0) = -2

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Lq'(t) = s Q(s) - q(0)
e
Lq''(t) = s^2 Q(s) - s q(0) - q'(0)
onde Q(s) é a Transformada de Laplace de q(t) .

Passo 4

Aplicando a Transformada de Laplace na equação diferencial inteira, temos:
Lq''(t) + 4 Lq'(t) + 3 Lq(t) = Lu7(t) cdot 10 e^-2(t-7)
Substituindo as transformadas das derivadas:
(s^2 Q(s) - s cdot 2 - (-2)) + 4 (s Q(s) - 2) + 3 Q(s) = Lu7(t) cdot 10 e^-2(t-7)
Simplificando:
s^2 Q(s) - 2s + 2 + 4s Q(s) - 8 + 3 Q(s) = Lu7(t) cdot 10 e^-2(t-7)

Passo 5

Vamos juntar os termos com Q(s) :
(s^2 + 4s + 3) Q(s) - 2s -6 = Lu7(t) cdot 10 e^-2(t-7)
Agora, precisamos encontrar a Transformada de Laplace do lado direito. Usamos a propriedade da Transformada de Laplace para funções com atraso, que é:
Lua(t) f(t-a) = e^-a s F(s)
onde F(s) é a Transformada de Laplace de f(t) .

Passo 6

No nosso caso, a = 7 e f(t) = 10 e^-2(t-7) . Então:
Lu7(t) cdot 10 e^-2(t-7) = e^-7 s cdot 10s + 2

Passo 7

Substituindo de volta na equação:
(s^2 + 4s + 3) Q(s) - 2s -6 = 10 e^-7 ss + 2
Agora, isolamos Q(s) :
Q(s) = 2s + 6 + 10 e^-7 ss + 2s^2 + 4s + 3

Passo 8

Vamos decompor a fração em partes mais simples para facilitar a inversa. Primeiro, simplificamos o termo sem o atraso:
2s + 6s^2 + 4s + 3 = 2s + 6(s + 1)(s + 3)
Podemos decompor isso em frações parciais:
2s + 6(s + 1)(s + 3) = As + 1 + Bs + 3
Resolvendo para A e B, encontramos:
A = 1 e B = 1
Então:
2s + 6(s + 1)(s + 3) = 1s + 1 + 1s + 3

Passo 9

Agora, para o termo com atraso:
10 e^-7 s(s + 2)(s^2 + 4s + 3)
Isso envolve convolução e propriedades de atraso na Transformada de Laplace, resultando em termos que serão ativados a partir de t = 7 .

Passo 10

Finalmente, aplicando a Transformada Inversa de Laplace a cada termo, obtemos:
q(t) = e^-t + e^-3t + 10 u(t - 7) e^-2(t - 7) ast (resposta do sistema)
Após calcular a convolução e simplificar, chegamos à solução completa.

Resposta

A solução para a carga no capacitor é dada por
q(t) = e^-t + e^-3t + 10 u(t - 7) ( e^-2(t - 7) - e^-3(t - 7) )

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