Usando a transformada de Laplace, resolva os problemas de valor inicial dados:
e
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem com condições iniciais
onde
é a função degrau unitário atrasada em
. Vamos aplicar a transformada de Laplace, usar as condições iniciais e em seguida inverter a transformada, recorrendo ao teorema do descolamento para a parte envolvendo
.
Passo 2
Tomando a transformada de Laplace dos dois lados e usando
e
, obtemos
Como
e
, isso se rearranja em
Passo 3
Vamos inverter cada parcela separadamente:
- A parcela sem o fator
é
por frações parciais, e portanto
- A parcela com o fator
é com
Fazendo frações parciais em
:
logo
Pelo teorema do descolamento, a inversa de
é
Resposta
Juntando tudo, a solução é