Usando a transformada de Laplace, resolva os problemas de valor inicial dados:
y^prime prime+3 y^prime+2 y=u3(t), y(0)=0 e y^prime(0)=1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem com condições iniciais
y'' + 3y' + 2y = u3(t), y(0)=0,;y'(0)=1,
onde u3(t) é a função degrau unitário atrasada em t=3. Vamos aplicar a transformada de Laplace, usar as condições iniciais e em seguida inverter a transformada, recorrendo ao teorema do descolamento para a parte envolvendo e^-3s.

Passo 2

Tomando a transformada de Laplace dos dois lados e usando
Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0) e Ly'=sY(s)-y(0), obtemos
s^2Y(s)-1 + 3l(sY(s)r) + 2Y(s) =e^-3ss
Como y(0)=0 e y'(0)=1, isso se rearranja em
Y(s)l(s^2+3s+2r)=1+e^-3ss Longrightarrow Y(s)=1(s+1)(s+2)+e^-3ss,(s+1)(s+2)

Passo 3

Vamos inverter cada parcela separadamente:
  1. A parcela sem o fator e^-3s é
1(s+1)(s+2) =1s+1-1s+2
por frações parciais, e portanto
L^-1l1(s+1)(s+2)r =e^-t-e^-2t
  1. A parcela com o fator e^-3s é e^-3sG(s) com
G(s)=1s,(s+1)(s+2)
Fazendo frações parciais em G(s):
1s(s+1)(s+2) =1/2s-1s+1+1/2s+2,
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L^-1G(s) =12 - e^-t + 12 e^-2t
Pelo teorema do descolamento, a inversa de e^-3sG(s) é
u(t-3)l(tfrac12 - e^-(t-3) + tfrac12 e^-2(t-3)r)

Resposta

Juntando tudo, a solução é
y(t)=e^-t-e^-2t +u(t-3)l(tfrac12 - e^-(t-3) + tfrac12e^-2(t-3)r)

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