Um circuito RLC em série é conectado a uma fonte ca que fornece tensão de amplitude
constante e frequência angular variável
. A capacitância é
e a indutância é
.
Mostre que, quando a corrente atinge seu valor máximo
, a frequência é dada por
.
Mostre que, quando a corrente atinge seu valor máximo
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício pede. Temos um circuito em série com resistor ®, indutor (L) e capacitor © ligados a uma fonte de tensão senoidal de amplitude
e frequência angular variável
. O objetivo é mostrar que, justamente quando a corrente atinge o máximo valor
, essa frequência satisfaz
Conteúdo da matéria: circuito RLC em corrente alternada, impedância, reatâncias e ressonância. Para resolver, vamos precisar
- escrever a impedância complexa
, - achar quando a corrente
fica máxima (isto é, quando fica mínima), - usar a condição de cancelamento das reatâncias indutiva e capacitiva.
Passo 2
Primeiro, entenda as reatâncias:
- A reatância do indutor é
. - A reatância do capacitor é
.
Em regime senoidal, a impedância total do circuito em série é
onde
é a unidade imaginária (
).
Passo 3
A amplitude da corrente é
Para
l(omega L - tfrac1omega Cr)^2 ser máximo,
omega L - 1omega C = 0 deve ser mínimo. Como
não depende de
, a parte que varia é
O mínimo dessa expressão é zero, porque um quadrado nunca é negativo. Então a condição de mínimo de
é
Passo 4
Basta resolver
omega L = 1omega C Longrightarrow omega^2 = 1L,C Longrightarrow omega = 1raizL,C, . Fazendo as contas:
(consideramos a solução positiva porque
é frequência angular).
Resposta
Que é justamente a frequência de ressonância, onde a corrente no circuito RLC em série fica no seu valor máximo.