Um circuito RLC em série é conectado a uma fonte ca que fornece tensão de amplitude V0 constante e frequência angular variável omega. A capacitância é C e a indutância é L.
Mostre que, quando a corrente atinge seu valor máximo I0, a frequência é dada por omega=1raizL C.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício pede. Temos um circuito em série com resistor ®, indutor (L) e capacitor © ligados a uma fonte de tensão senoidal de amplitude omega ;=;1raizL,C e frequência angular variável . O objetivo é mostrar que, justamente quando a corrente atinge o máximo valor , essa frequência satisfaz
Conteúdo da matéria: circuito RLC em corrente alternada, impedância, reatâncias e ressonância. Para resolver, vamos precisar
  1. escrever a impedância complexa ,
  2. achar quando a corrente fica máxima (isto é, quando fica mínima),
  3. usar a condição de cancelamento das reatâncias indutiva e capacitiva.

Passo 2

Primeiro, entenda as reatâncias:
  • A reatância do indutor é Z(omega) ;=; R ;+; jl(XL - XCr) ;=; R ;+; jl(omega L - tfrac1omega Cr), .
  • A reatância do capacitor é .
    Em regime senoidal, a impedância total do circuito em série é
onde é a unidade imaginária ( ).

Passo 3

A amplitude da corrente é
I0(omega) ;=;V0l|Z(omega)r| com l|Z(omega)r| ;=;raizR^2 + l(omega L - tfrac1omega Cr)^2,
Para l(omega L - tfrac1omega Cr)^2 ser máximo, omega L - 1omega C = 0 deve ser mínimo. Como não depende de , a parte que varia é
O mínimo dessa expressão é zero, porque um quadrado nunca é negativo. Então a condição de mínimo de é

Passo 4

Basta resolver omega L = 1omega C Longrightarrow omega^2 = 1L,C Longrightarrow omega = 1raizL,C, . Fazendo as contas:
(consideramos a solução positiva porque é frequência angular).

Resposta

boxedomega = 1raizL,C
Que é justamente a frequência de ressonância, onde a corrente no circuito RLC em série fica no seu valor máximo.

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