A resistência R de um circuito RLC em série é dada por R=FpP med VR M S^2, onde FP é o fator de potência, P med é a potência média e V RMS é a tensão eficaz fornecida pela fonte. Este circuito oscila com frequência angular omega, possui capacitância C, indutância L e é caracterizado pelo fato de que a tensão está adiantada em relação à corrente.
Calcule a reatância indutiva do circuito. Suas respostas devem estar em função de FP, P med , VR M S, C e omega.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que foi pedido! Temos um circuito RLC em série, que inclui resistência ®, indutância (L) e capacitância ©. A resistência é dada pela fórmula $ R = \frac{F_p}{P_{med}} V_{RMS}^{2} $, onde:
  • $ F_p $ é o fator de potência,
  • $ P_{med} $ é a potência média,
  • $ V_{RMS} $ é a tensão eficaz.
Nosso objetivo é calcular a reatância indutiva ($ X_L $) desse circuito em função de $ F_p, P_{med}, V_{RMS}, C $ e $ \omega $ (a frequência angular).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um circuito RLC em série, a impedância total ($ Z $) é dada por:
Z
onde:
- $ X_L = \omega L $ é a reatância indutiva,
- $ X_C = \frac{1}{\omega C} $ é a reatância capacitiva.
Como a tensão está adiantada em relação à corrente, isso indica que a reatância capacitiva é maior que a indutiva, ou seja, $ X_C > X_L $.

Passo 3

O fator de potência ($ F_p Fp áâ \phi $) entre tensão e corrente pela relação:
phi
Podemos rearranjar essa equação para expressar a impedância total:
Fp = cos(phi) = RZ

Passo 4

Substituindo a expressão de $ Z $ na fórmula da impedância total:
Z
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
RFp = raizR^2 + (XL - XC)^2

Passo 5

Isolando o termo com $ X_L $:
XL
(XL - XC)^2 = (RFp)^2 - R^2
Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados:
(XL - XC)^2 = R^2 ( 1Fp^2 - 1 )
Então, isolando $ X_L $:
XL - XC = R raiz 1Fp^2 - 1

Passo 6

Agora, vamos substituir $ R $ pela expressão fornecida:
R
Além disso, sabemos que $ X_C = \frac{1}{\omega C} $. Substituindo essas na equação de $ X_L $:
R = FpPmed VRMS^2

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:
raiz 1Fp^2 - 1 = raiz 1 - Fp^2Fp^2 = raiz1 - Fp^2Fp
Substituindo de volta:
XL = 1omega C + ( FpPmed VRMS^2 ) ( raiz1 - Fp^2Fp )
XL = 1omega C + VRMS^2Pmed raiz1 - Fp^2

Resposta

A reatância indutiva do circuito é:
XL = 1omega C + VRMS^2Pmed raiz1 - Fp^2

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