1^ a ) Um circuito RLC em série contém uma lâmpada de 200 watts, um capacitor de 2 mu F e ur indutor variável. O circuito é conectado a uma fem de 100 V e frequência 500 / 2 pi Hz. A lâmpad: é ùma resistência ideal designada para consumir 200 watts de potência a 100 volts. (a) Qual é : resistência da lâmpada? (b) Que valor de L fará a lâmpada brilhar com intensidade máxima? (c) Quando a indutância é dobrada, que potência passa a ser consumida pela lâmpada?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de circuito RLC passo a passo! O enunciado fala sobre um circuito em série que tem uma lâmpada de 200 watts, um capacitor de 2,muF, e um indutor que podemos variar. Ele está ligado a uma fonte de 100 V com frequência 5002pi Hz. A ideia aqui é descobrir algumas coisas sobre a resistência da lâmpada, o valor do indutor para brilhar no máximo e o que acontece se a indutância for dobrada. Vamos usar conceitos de resistência, potência e reatância em circuitos RLC para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir a resistência da lâmpada. A lâmpada está projetada para consumir 200 watts quando submetida a 100 volts. A fórmula que relaciona potência ( P), tensão ( V) e resistência ( R) é:
P = V^2R
Queremos encontrar R, então rearranjamos a fórmula:
R = V^2P
Substituindo os valores:
R = 100^2200 = 10000200 = 50,Omega

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b): qual valor de L (indutância) faz a lâmpada brilhar com intensidade máxima? Para isso, precisamos entender que a potência máxima ocorre quando o circuito está em ressonância. Em um circuito RLC em série, a ressonância acontece quando a reatância indutiva ( XL) é igual à reatância capacitiva ( XC), ou seja:
XL = XC
Sabemos que:
XL = omega L e XC = 1omega C
Onde omega é a frequência angular, L é a indutância e C é a capacitância.
Em ressonância:
omega L = 1omega C
Resolvendo para L :
L = 1omega^2 C
Primeiro, vamos calcular omega . A frequência f é dada por:
f = 5002pi , Hz
Então, omega = 2pi f = 2pi times 5002pi = 500 , rad/s .
Agora, substituindo na fórmula de L :
L = 1(500)^2 times 2 times 10^-6 = 1250000 times 2 times 10^-6 = 10,5 = 2 , H

Passo 4

Por último, vamos para a parte (c): o que acontece com a potência consumida pela lâmpada quando a indutância é dobrada? Se dobrarmos L , o novo valor será L' = 2L = 4,H .
Quando a indutância muda, a reatância indutiva XL também muda:
XL' = omega L' = omega times 4 = 4 times 500 = 2000,Omega
Agora, a reatância total no circuito não está mais na condição de ressonância, então a impedância total Z do circuito aumenta:
Z = raizR^2 + (XL' - XC)^2
Como XL' = 2000,Omega e XC = 1omega C = 1500 times 2 times 10^-6 = 1000,Omega ,
Z = raiz50^2 + (2000 - 1000)^2 = raiz2500 + 1000000 = raiz1002500 approx 1001.25,Omega
A corrente no circuito então será:
I = VZ = 1001001.25 approx 0.0999,A
A potência consumida pela lâmpada é:
P' = I^2 R = (0.0999)^2 times 50 approx 0.00998 times 50 approx 0.499,W

Resposta

(a) A resistência da lâmpada é 50,Omega.

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