1. Considere o seguinte vetor
r(t)=2 c ms t x+(4 c ms t+4 c ms^2 t^2) y
a) Determine o vetor velocidade v(t). Quais são as velocidades iniciais no eixo x e no eixo y ?
b) Calcule o módulo v de v(t) no instante t=1 s
c) Determine o vetor aceleração.
d) Descreva a evolução das coordenadas de posição no eixo x.
e) Descreva a evolução das coordenadas de posição no eixo y.
f) Equação da trajetória

Passo 1

O enunciado está em cinemática vetorial: temos a função posição
r(t)=2cm s,t,hat x+l(4cm s,t+4cm s^2,t^2r)hat y
e queremos (a) a velocidade e as velocidades iniciais em x e em y, (b) o módulo de vec v em t=1, s, (c) a aceleração, (d) o tipo de evolução de x(t), (e) o tipo de evolução de y(t) e (f) a equação da trajetória.

Passo 2

Para achar o vetor velocidade vec v(t), derivamos componente a componente:
vx(t)=ddtl(2tr)cm s=2cm s, vy(t)=ddtl(4t+4t^2r)cm s= l(4+8tr)cm s
As velocidades iniciais (em t=0) são
vx(0)=2cm s, vy(0)=4cm s

Passo 3

O módulo de vec v em t=1, s é
l|vec v(1)r| =raizl(vx(1)r)^2+l(vy(1)r)^2 =raizl(2l)r)^2+l(4+8cdot1r)^2,cm s =raiz4+12^2,cm s =raiz148,cm s =2raiz37,cm s

Passo 4

Para a aceleração vec a(t), derivamos vec v(t):
ax(t)=ddtl(2r)cm s^2=0, ay(t)=ddtl(4+8tr)cm s^2=8cm s^2
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vec a(t)=0;hat x+8cm s^2,hat y

Passo 5

No eixo x a posição é
x(t)=2cm s,t,
ou seja, movimento retilíneo uniforme com velocidade constante 2cm s.

Passo 6

No eixo y a posição é
y(t)=4cm s,t+4cm s^2,t^2,
ou seja, movimento retilíneo uniformemente variado com velocidade inicial 4cm s e aceleração 8cm s^2.

Passo 7

Para a trajetória y(x), eliminamos t=x/(2cm s). Como x(t)=2t, temos t=x/2, e
y = 4l(tfracx2r)+4l(tfracx2r)^2 =2x + x^2

Resposta

a) vec v(t)=2cm s,hat x+l(4+8tr)cm s,hat y, vx(0)=2cm s,;vy(0)=4cm s
b) v(1)=2raiz37,cm s
c) vec a(t)=0,hat x+8cm s^2,hat y
d) x(t)=2t (movimento uniforme).
e) y(t)=4t+4t^2 (movimento uniformemente variado).
f) y=x^2+2x.

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