Um circuito RLC em série possui uma fonte de corrente alternada com amplitude 100 V e frequência angular de excitação 20 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, e um resistor com resistência 10 \Omega. A amplitude da corrente é 2 A e a reatância indutiva é 80 \Omega.
a) Calcule a indutância e a impedância do circuito.
b) Calcule a capacitância do circuito, sabendo que ela é maior que 1 m F.
c) Qual a constante de fase \varphi ? A corrente está atrasada ou adiantada em relação à fem?
d) Qual a potencia média dissipada no resistor?
e) Escreva a expressão para a diferença de potencial entre as extremidades do capacitor em função do tempo.

Passo 1

O enunciado descreve um circuito série RLC alimentado por uma fonte senoidal de amplitude \,100\mathrm{V} e frequência angular \omega=20\:\mathrm{rad/s}. O resistor vale \,R=10\:\Omega, a corrente de amplitude é \,I_0=2\:\mathrm{A} e a reatância indutiva é \,X_L=80\:\Omega. Precisamos usar análise fasorial para achar:
a) a indutância L e a impedância total Z;
b) a capacitância C, sabendo que C>1\:\mathrm{mF};
c) a defasagem \varphi e saber se a corrente atrasa ou adianta a tensão;
d) a potência média no resistor;
e) a expressão v_C(t) do capacitor.

Passo 2

Para achar L usamos a definição de reatância indutiva:
X_L = \omega L
Logo
L = \frac{X_L}{\omega} = \frac{80}{20} = 4\:\mathrm{H}.
A impedância total de um circuito série é dada por
Z = \frac{V_0}{I_0} = \frac{100}{2} = 50\:\Omega.

Passo 3

Na série RLC valem
Z^2 = R^2 + (X_L - X_C)^2
Logo
(X_L - X_C)^2 = Z^2 - R^2 = 50^2 - 10^2 = 2400,
X_L - X_C = \pm\sqrt{2400}\approx \pm48{,}99\:\Omega.
Como C>1\:\mathrm{mF}, escolhemos
X_L - X_C = +48{,}99 \quad\Longrightarrow\quad X_C = 80 - 48{,}99 = 31{,}01\:\Omega.
Então a capacitância é
C = \frac{1}{\omega\,X_C} = \frac{1}{20\cdot31{,}01}\approx0{,}00161\:\mathrm{F}=1{,}61\:\mathrm{mF}.

Passo 4

A defasagem entre tensão e corrente num série RLC é
\varphi = \arctan\!\biggl(\frac{X_L - X_C}{R}\biggr) =\arctan\!\bigl(\tfrac{48{,}99}{10}\bigr)\approx1{,}37\:\mathrm{rad} \;(78{,}45^\circ).
Como X_L>X_C, o circuito é indutivo e a corrente atrasa a tensão.

Passo 5

A potência média dissipada no resistor é
P = I_{\mathrm{rms}}^2\,R,
com I_{\mathrm{rms}}=I_0/\sqrt2=2/\sqrt2=1{,}414\:\mathrm{A}. Então
P = (1{,}414)^2\cdot10 \approx20\:\mathrm{W}.

Passo 6

Escolhendo referência v_s(t)=100\sin(20t), a corrente é
i(t)=2\sin(20t - \varphi).
A tensão no capacitor atrasa a corrente em \pi/2, logo
v_C(t)=I_0\,X_C\,\sin\bigl(20t-\varphi-\tfrac{\pi}{2}\bigr) =2\cdot31{,}01\;\sin\bigl(20t-1{,}37-\tfrac{\pi}{2}\bigr) \approx62{,}0\sin\bigl(20t-2{,}94\bigr)\:\mathrm{V}.

Resposta

(a) L = 4\:\mathrm{H}, Z = 50\:\Omega.
(b) C \approx 1{,}61\:\mathrm{mF}.
(c) \varphi \approx 1{,}37\:\mathrm{rad} 78{,}45^\circ, corrente atrasada.
(d) P \approx 20\:\mathrm{W}.
(e) v_C(t) \approx 62{,}0\;\sin\bigl(20t - 2{,}94\bigr)\:\mathrm{V}.

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