Questão 3

Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Uma estudante de física computacional, fã de heavy metal, foi a um show da turnê de um dos guitarristas mais conceituados, Kiko Loureiro. Ao final do show, Kiko lançou uma paleta para a plateia. Disposta a capturar a paleta, a estudante já tinha calculado a velocidade média de lançamento que o guitarrista era capaz de imprimir, estimada em 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e formando um ângulo de cerca de 30^{\circ} com relação ao solo. No momento do lançamento, Kiko estava no canto direito do palco e mirou na diagonal. O palco está a 3,5 \mathrm{~m} de altura e Kiko lança 1,5 \mathrm{~m} acima dele. Olhando do teto da venue, com Kiko na origem, qual deveriam ser os módulos das coordenadas horizontal e vertical, respectivamente, da estudante para que ela intercepte a paleta quando ela alcança 1 m abaixo do nível do palco ? Apresente sua resposta em m e considere \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
a. 5 \sqrt{ } 6 / 4,5 \sqrt{ } 6 / 4
b. 5 / 2,15 / 4
c. 15 / 4,15 / 4
d. 5 / 2,5 \sqrt{ } 6 / 4
e. 5 / 2,5 \sqrt{ } 3 / 2
Nível de dificuldade: difícil
Considerar um referencial no plano de lançamento (diagonal do palco) com z representando a altura e y o alcance da paleta em relação ao ponto de lançamento.
Calcular o tempo de captura quando a altura z é de 2,5 \mathrm{~m} (isto é, 1 m abaixo do palco). Este tempo deve ser de 1 s .
Determinar o alcance da paleta com base no tempo de captura. O valor obtido é de d=5 / 2 \sqrt{3}.
Um observador que acompanha o lançamento do teto, deve ver a paleta movendo-se a 45 graus em relação à linha que delimita a platéia e o palco. Como a distância de interceptação nesta linha diagonal é d, basta calcular os valores das coordenadas horizontal e vertical em um referencial que tem Kiko na origem e eixos x’ horizontal e y’ na vertical.
A resposta correta é: 5 \sqrt{ } 6 / 4,5 \sqrt{ } 6 / 4

Passo 1

O enunciado trata de um lançamento oblíquo em que a paleta sai da altura do palco mais 1,5 m, ou seja, de
z_0 = 3{,}5 + 1{,}5 = 5\\ \text{m},
com velocidade inicial v_0 = 5\\ \mathrm{m/s} formando \theta = 30^\circ com o solo, e queremos pegá-la quando ela estiver 1 m abaixo do palco, isto é em
z = 3{,}5 - 1 = 2{,}5\\ \text{m},
sabendo g = 10\\ \mathrm{m/s^2}. Primeiro calculamos o tempo de voo até essa altura usando o movimento uniformemente variado vertical; depois achamos o alcance no plano de lançamento; por fim, projetamos esse alcance em um referencial visto do teto, onde a paleta move-se a 45^\circ na planta, gerando componentes iguais nas direções horizontal e vertical do teto.

Passo 2

Escrevemos a equação da posição vertical
z(t) = z_0 + v_0\sin\theta\,t - \tfrac12\,g\,t^2
com z_0=5, v_0\sin30^\circ = 5\cdot\frac12 = 2{,}5 e g=10. Queremos z(t)=2{,}5, logo
5 + 2{,}5\,t - 5\,t^2 = 2{,}5 \;\Longrightarrow\; 5\,t^2 - 2{,}5\,t - 2{,}5 = 0.
Resolvendo essa equação do 2º grau, obtemos o instante físico positivo
t = 1\\ \text{s}.

Passo 3

No plano de lançamento (horizontal no mesmo plano do tiro) a posição é
y(t) = v_0\cos\theta\,t
com v_0\cos30^\circ = 5\cdot\frac{\sqrt3}{2} = \tfrac{5\sqrt3}{2}. Para t=1, o alcance é
d = y(1) = \frac{5\sqrt3}{2}\\ \text{m}.

Passo 4

Visto do teto, a paleta descreve um movimento em planta a 45^\circ numa “diagonal do palco”, de modo que as componentes nas direções x' e y' (horizontal e vertical no teto) são iguais:
x' = y' = d\cos45^\circ = \frac{d}{\sqrt2} = \frac{\tfrac{5\sqrt3}{2}}{\sqrt2} = \frac{5\sqrt6}{4}\\ \text{m}.

Resposta

\displaystyle \frac{5\sqrt6}{4},\;\frac{5\sqrt6}{4}

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