Em um circuito R-L-C série, xi(t)=100 Cos(120 pi t) volts, R=1,0 Omega, C=2,0 times 10^-3 F e L=3,0 times 10^-3 henry. Determine a amplitude e fase da corrente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de circuito R-L-C série! A gente tem uma tensão alternada dada por xi(t) = 100 cos(120pi t) volts, com resistência R = 1,0,Omega, capacitância C = 2,0 times 10^-3,F e indutância L = 3,0 times 10^-3,H. Nosso objetivo é encontrar a amplitude e a fase da corrente que passa por esse circuito.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de impedância em circuitos AC, que envolvem resistência, reatância indutiva e reatância capacitiva. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a frequência angular omega da tensão. Sabemos que a tensão é da forma cos(omega t), então comparando com xi(t), temos:
omega = 120pi, rad/s

Passo 3

Agora, vamos calcular a reatância indutiva XL e a reatância capacitiva XC. As fórmulas são:
XL = omega L
XC = 1omega C
Substituindo os valores:
XL = 120pi times 3,0 times 10^-3 approx 1,13097,Omega
XC = 1120pi times 2,0 times 10^-3 approx 0,79577,Omega^-1

Passo 4

No circuito R-L-C série, a impedância total Z é dada por:
Z = R + j(XL - XC)
Onde j é a unidade imaginária. Vamos calcular:
X = XL - XC approx 1,13097,Omega - 1,32677,Omega = -0,1958,Omega
O sinal negativo indica que a reatância capacitiva domina.

Passo 5

Agora, vamos calcular o módulo da impedância |Z|:
|Z| = raizR^2 + X^2 = raiz1,0^2 + (-0,1958)^2 approx raiz1,0384 approx 1,019,Omega

Passo 6

Com o módulo da impedância, podemos encontrar a amplitude da corrente I usando a fórmula:
I = V|Z| = 100,V1,019,Omega approx 98,2,A

Passo 7

Por fim, vamos determinar a fase phi da corrente em relação à tensão. A fase é dada por:
phi = tan^-1(XR) = tan^-1(-0,19581,0) approx -11,1^circ

Resposta

A amplitude da corrente é aproximadamente 98,2,A e a fase é -11,1^circ.

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