Circuito RC: Em um circuito RC série com R=200 \Omega e C=50 \mu \mathrm{~F}, uma fonte de tensão constante V_{0}=12 \mathrm{~V} é conectada no instante t=0. A equação diferencial para a carga q(t) no capacitor é:
R \frac{d q}{d t}+\frac{q}{C}=V_{0}, \quad q(0)=0
Determine q(t) e a tensão no capacitor quando t=0,02 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado descreve um circuito RC série com R=200\\ \Omega, C=50\\ \mu\mathrm{F} e fonte de tensão constante V_{0}=12\\ \mathrm{V}, ligada em t=0. A equação diferencial para a carga q(t) no capacitor é
R\,\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=V_{0},\quad q(0)=0.
O conteúdo é resolução de equação diferencial linear de 1ª ordem e a relação v_C(t)=q(t)/C.

Passo 2

Primeiro, identificamos a constante de tempo do circuito:
\tau = R\,C = 200\\ \Omega \times 50\times10^{-6}\\ \mathrm{F} = 0{,}01\\ \mathrm{s}.
Em seguida, notamos que a solução geral de
R\,\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=V_{0}
é soma da solução homogênea e de uma particular.

Passo 3

A solução homogênea satisfaz
R\,\frac{dq_h}{dt}+\frac{q_h}{C}=0
cuja solução é
q_h(t)=A\,e^{-t/(RC)}=A\,e^{-t/\tau}.
Uma solução particular constante é q_p=C\,V_{0}, pois substituindo em dq_p/dt=0 \frac{q_p}{C}=V_{0}.

Passo 4

Logo a solução geral é
q(t)=q_p+q_h(t)=C\,V_{0}+A\,e^{-t/\tau}.
Impondo a condição inicial q(0)=0 resulta em
0=C\,V_{0}+A\quad\Longrightarrow\quad A=-C\,V_{0}.

Passo 5

Portanto
q(t)=C\,V_{0}\Bigl(1-e^{-t/\tau}\Bigr).
Substituindo C=50\times10^{-6}\\ \mathrm{F}, V_{0}=12\\ \mathrm{V} e \tau=0{,}01\\ \mathrm{s}, obtemos
q(t)=50\times10^{-6}\times12\bigl(1-e^{-t/0{,}01}\bigr) =6\times10^{-4}\bigl(1-e^{-100\,t}\bigr)\\ \mathrm{C}.

Passo 6

A tensão no capacitor é
v_C(t)=\frac{q(t)}{C} =V_{0}\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr) =12\bigl(1-e^{-100\,t}\bigr)\\ \mathrm{V}.

Passo 7

Para t=0{,}02\\ \mathrm{s} (ou seja t/\tau=2),
v_C(0{,}02)=12\bigl(1-e^{-2}\bigr) \approx12\bigl(1-0{,}1353\bigr) \approx10{,}38\\ \mathrm{V}.

Resposta

q(t) = 6\times10^{-4}\bigl(1-e^{-100\,t}\bigr)\\ \mathrm{C}.
Tensão no capacitor em t=0{,}02\\ \mathrm{s}: v_C(0{,}02)\approx10{,}38\\ \mathrm{V}.

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