1. Expresse a força resultante que atua sobre o gancho.
\left(R: F_{R}=\{490 i+683 j-266 k\} N \| a=56,2^{\circ} ; \beta=39,2^{\circ} ; \gamma=107,5^{\circ}\right)

Passo 1

O enunciado pede para expressar a força resultante que atua sobre o gancho. A figura e o enunciado fornecem magnitudes e ângulos das duas forças aplicadas. Vou listar aqui todas as informações extraídas do enunciado/figura (peguei estes valores na imagem):
  • Magnitudes das forças:
    • F_1 = 500\\ \text{N}.
    • F_2 = 800\\ \text{N}.
  • Para F_1 há um triângulo com lados 4 e 5 mostrados na figura (isto sugere uma relação trigonométrica tipo 3\!-\!4\!-\!5; a componente restante será obtida por Pitágoras).
  • Para F_2 a figura indica que:
    • o fio faz um ângulo de 45^\circ com a direção vertical (logo o ângulo entre F_2 e o eixo z é 45^\circ);
    • a projeção horizontal (no plano xy) de F_2 forma um ângulo de 30^\circ com o eixo x.
      O que se pede explicitamente: calcular a força resultante \vec{F}_R=\vec{F}_1+\vec{F}_2 na forma de componentes (i, j, k) e obter suas direções (ângulos com os eixos).

Passo 2

Entender e recordar como obter componentes de uma força: uma força \vec{F} pode ser decomposta em componentes cartesianas por meio de um vetor unitário na sua direção. O vetor unitário \hat{u} de uma direção é dado por
\hat{u}=\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|},
onde |\vec{r}| é a norma (comprimento). As componentes da força são então
\vec{F}=F\,\hat{u}=F\bigl(\cos\alpha\,\mathbf{i}+\cos\beta\,\mathbf{j}+\cos\gamma\,\mathbf{k}\bigr),
onde \cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma são os cossenos diretores (projeções normalizadas nos eixos). Vou aplicar isso separadamente para F_1 e F_2.

Passo 3

Calcular as componentes de \vec{F}_1.
Do triângulo indicado para F_1 temos os lados 4 e 5. Usando Pitágoras, o outro cateto vale
\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3.
Interpretação geométrica (da figura): a projeção horizontal de F_1 (no plano que contém o eixo y) tem magnitude proporcional a 4 e a componente vertical (em z) é proporcional a 3. A componente em x é nula (o fio de F_1 está no plano que contém os eixos y e z segundo a figura). Assim o vetor unitário na direção de F_1 é
\hat{u}_1=\frac{1}{5}\bigl(0\,\mathbf{i}+4\,\mathbf{j}+3\,\mathbf{k}\bigr).
Multiplicando pela magnitude F_1=500\\ \text{N} obtemos as componentes:
\vec{F}_1=500\cdot\hat{u}_1=500\cdot\frac{1}{5}\bigl(0,4,3\bigr)=\bigl(0,\;400,\;300\bigr)\\ \text{N}.
(Expliquei cada passo: achei o cateto 3 por Pitágoras, formatei o vetor unitário dividindo por 5 e multipliquei por 500.)

Passo 4

Calcular as componentes de \vec{F}_2.
A figura dá: o ângulo entre F_2 e o eixo vertical z é 45^\circ. Isso significa que a componente ao longo de z tem magnitude F_2\cos45^\circ (com sinal negativo porque a força aponta para baixo) e a projeção horizontal no plano xy tem magnitude F_2\sin45^\circ.
Calculemos primeiro os valores numéricos das funções trigonométricas:
\cos45^\circ=\sin45^\circ=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx0,70710678.
Então:
\text{componente vertical: } F_{2z}=-F_2\cos45^\circ=-800\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\approx-565{,}685\\ \text{N}.
A projeção horizontal tem magnitude
F_{2,\text{proj}}=F_2\sin45^\circ=800\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\approx565{,}685\\ \text{N}.
Agora essa projeção está no plano xy e, segundo a figura, forma um ângulo de 30^\circ com o eixo x. Tomando o sentido positivo de x e y conforme o sistema de eixos mostrado e observando a orientação da projeção na figura, a projeção tem componentes positivas em x e y (isto é coerente com a figura). Assim as componentes horizontais são:
F_{2x}=F_{2,\text{proj}}\cos30^\circ, \qquad F_{2y}=F_{2,\text{proj}}\sin30^\circ.
Usando \cos30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx0{,}8660254 e \sin30^\circ=0{,}5, obtemos numericamente:
F_{2x}\approx565{,}685\cdot0{,}8660254\approx490{,}000\\ \text{N},
F_{2y}\approx565{,}685\cdot0{,}5\approx282{,}843\\ \text{N}.
Portanto
\vec{F}_2\approx\bigl(490{,}000,\;282{,}843,\;-565{,}685\bigr)\\ \text{N}.

Passo 5

Somar as componentes para obter a resultante \vec{F}_R=\vec{F}_1+\vec{F}_2.
Somando componente a componente:
F_{Rx}=0+490{,}000=490{,}000\\ \text{N},
F_{Ry}=400+282{,}843=682{,}843\\ \text{N}\\ (\approx683\\ \text{N}),
F_{Rz}=300-565{,}685=-265{,}685\\ \text{N}\\ (\approx-266\\ \text{N}).
Arredondando de modo usual (para três algarismos significativos), obtemos
\vec{F}_R\approx\bigl(490,\;683,\;-266\bigr)\\ \text{N}.
Agora, calcular o módulo e os ângulos diretores (cosenos diretores):
O módulo é
|\vec{F}_R|=\sqrt{490^2+683^2+(-266)^2}.
Calculando:
|\vec{F}_R|\approx\sqrt{490^2+683^2+266^2}\approx\sqrt{777345}\approx881{,}76\\ \text{N}\\ (\approx882\\ \text{N}).
Os cossenos diretores são \cos\alpha=F_{Rx}/|\vec{F}_R|, \cos\beta=F_{Ry}/|\vec{F}_R|, \cos\gamma=F_{Rz}/|\vec{F}_R|. Portanto:
\cos\alpha\approx\frac{490}{881{,}76}\approx0{,}5558\quad\Rightarrow\quad \alpha\approx\operatorname{arccos}(0{,}5558)\approx56{,}2^\circ,
\cos\beta\approx\frac{683}{881{,}76}\approx0{,}7747\quad\Rightarrow\quad \beta\approx\operatorname{arccos}(0{,}7747)\approx39{,}2^\circ,
\cos\gamma\approx\frac{-266}{881{,}76}\approx-0{,}3016\quad\Rightarrow\quad \gamma\approx\operatorname{arccos}(-0{,}3016)\approx107{,}5^\circ.

Resposta

\vec{F}_R=(490\\ \mathbf{i}+683\\ \mathbf{j}-266\\ \mathbf{k})\\ \text{N}
|\vec{F}_R|\approx882\\ \text{N}
\alpha\approx56{,}2^\circ
\beta\approx39{,}2^\circ
\gamma\approx107{,}5^\circ

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