- Expresse a força resultante que atua sobre o gancho.
Passo 1
O enunciado pede para expressar a força resultante que atua sobre o gancho. A figura e o enunciado fornecem magnitudes e ângulos das duas forças aplicadas. Vou listar aqui todas as informações extraídas do enunciado/figura (peguei estes valores na imagem):
- Magnitudes das forças:
-
. -
.
-
- Para
há um triângulo com lados e mostrados na figura (isto sugere uma relação trigonométrica tipo ; a componente restante será obtida por Pitágoras). - Para
a figura indica que: - o fio faz um ângulo de
com a direção vertical (logo o ângulo entre e o eixo é ); - a projeção horizontal (no plano
) de forma um ângulo de com o eixo .
O que se pede explicitamente: calcular a força resultantena forma de componentes (i, j, k) e obter suas direções (ângulos com os eixos).
- o fio faz um ângulo de
Passo 2
Entender e recordar como obter componentes de uma força: uma força
pode ser decomposta em componentes cartesianas por meio de um vetor unitário na sua direção. O vetor unitário
de uma direção é dado por
onde
é a norma (comprimento). As componentes da força são então
onde
são os cossenos diretores (projeções normalizadas nos eixos). Vou aplicar isso separadamente para
e
.
Passo 3
Calcular as componentes de
.
Do triângulo indicado para
temos os lados
e
. Usando Pitágoras, o outro cateto vale
Interpretação geométrica (da figura): a projeção horizontal de
(no plano que contém o eixo
) tem magnitude proporcional a
e a componente vertical (em
) é proporcional a
. A componente em
é nula (o fio de
está no plano que contém os eixos
e
segundo a figura). Assim o vetor unitário na direção de
é
Multiplicando pela magnitude
obtemos as componentes:
(Expliquei cada passo: achei o cateto 3 por Pitágoras, formatei o vetor unitário dividindo por 5 e multipliquei por 500.)
Passo 4
Calcular as componentes de
.
A figura dá: o ângulo entre
e o eixo vertical
é
. Isso significa que a componente ao longo de
tem magnitude
(com sinal negativo porque a força aponta para baixo) e a projeção horizontal no plano
tem magnitude
.
Calculemos primeiro os valores numéricos das funções trigonométricas:
Então:
A projeção horizontal tem magnitude
Agora essa projeção está no plano
e, segundo a figura, forma um ângulo de
com o eixo
. Tomando o sentido positivo de
e
conforme o sistema de eixos mostrado e observando a orientação da projeção na figura, a projeção tem componentes positivas em
e
(isto é coerente com a figura). Assim as componentes horizontais são:
Usando
e
, obtemos numericamente:
Portanto
Passo 5
Somar as componentes para obter a resultante
.
Somando componente a componente:
Arredondando de modo usual (para três algarismos significativos), obtemos
Agora, calcular o módulo e os ângulos diretores (cosenos diretores):
O módulo é
O módulo é
Calculando:
Os cossenos diretores são
,
,
. Portanto: