Potencial elétrico de cargas puntiformes: Duas cargas q_{1}=+2 \mu C em x=0 e q_{2}=-3 \mu C em x=1 m estão alinhadas.
(a) Calcule o potencial elétrico no ponto x=0.5 \mathrm{~m}.
(b) Determine o campo elétrico nesse ponto usando E=-d V / d x.

Passo 1

O enunciado coloca duas cargas puntiformes sobre o eixo x:
\displaystyle q_{1}=+2\times10^{-6}\,\mathrm{C} em x=0 e
\displaystyle q_{2}=-3\times10^{-6}\,\mathrm{C} em x=1\,\mathrm{m}.
Pede-se (a) o potencial elétrico em x=0.5\,\mathrm{m} e (b) o campo elétrico naquele ponto usando
E(x)=-\frac{dV}{dx}.
Vamos usar superposição de potenciais e depois derivar para encontrar o campo.

Passo 2

Para um ponto x entre 0 e 1, as distâncias às cargas são r_{1}=x e r_{2}=1-x.
Pelo princípio da superposição,
V(x) = k\Bigl(\frac{q_{1}}{r_{1}}+\frac{q_{2}}{r_{2}}\Bigr) = k\Bigl(\frac{q_{1}}{x}+\frac{q_{2}}{1-x}\Bigr),
onde k=9\times10^{9}\,\mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}.
Em x=0.5\,\mathrm{m}:
V(0.5) =9\times10^{9}\!\Bigl(\frac{2\times10^{-6}}{0.5}+\frac{-3\times10^{-6}}{0.5}\Bigr) =9\times10^{9}\!\bigl(4\times10^{-6}-6\times10^{-6}\bigr) =9\times10^{9}\times(-2\times10^{-6}) =-1.8\times10^{4}\,\mathrm{V}.

Passo 3

O campo elétrico é dado por
E(x)=-\frac{dV}{dx}.
Derivando
V(x)=k\Bigl(q_{1}x^{-1}+q_{2}(1-x)^{-1}\Bigr),
temos
\frac{dV}{dx} = k\Bigl(-q_{1}x^{-2}+q_{2}(1-x)^{-2}\Bigr)
pois \displaystyle \frac{d}{dx}(1-x)^{-1}=(1-x)^{-2}.
Logo,
E(x) =-\frac{dV}{dx} = k\Bigl(\frac{q_{1}}{x^{2}}-\frac{q_{2}}{(1-x)^{2}}\Bigr).

Passo 4

Avaliaremos em x=0.5\,\mathrm{m}:
E(0.5) =9\times10^{9}\!\Bigl(\frac{2\times10^{-6}}{0.5^{2}} -\frac{-3\times10^{-6}}{0.5^{2}}\Bigr) =9\times10^{9}\!\Bigl(\frac{5\times10^{-6}}{0.25}\Bigr) =9\times10^{9}\times20\times10^{-6} =1.8\times10^{5}\,\mathrm{V/m}.
Como ambos os campos (da carga positiva e da negativa) apontam para +x, o resultado é positivo nessa direção.

Resposta

(a) \displaystyle V(0.5\,\mathrm{m})=-1.8\times10^{4}\,\mathrm{V}.
(b) \displaystyle E(0.5\,\mathrm{m})=1.8\times10^{5}\,\mathrm{V/m} na direção positiva de x.

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