Circulação zero Utilize a identidade nabla times nabla f=0 (Equação 8 no texto) e o teorema de Stokes para mostrar que as circulações dos campos a seguir ao redor da borda de qualquer superfície lisa orientável no espaço são zero.
F=nabla(x y^2 z^3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a circulação do campo F ao redor da borda de qualquer superfície lisa orientável no espaço é zero. Vamos usar a identidade nabla times nabla f = 0 e o teorema de Stokes para isso. Basicamente, vamos precisar entender um pouco sobre campos vetoriais, rotacional e o teorema de Stokes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o campo F dado: F = nabla(x y^2 z^3). Aqui, F é o gradiente de uma função escalar f = x y^2 z^3. O gradiente de uma função nos dá um campo vetorial que aponta na direção de maior aumento da função.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a identidade que foi mencionada: nabla times nabla f = 0. Essa identidade nos diz que o rotacional do gradiente de qualquer função escalar é sempre zero. Ou seja, se a gente calcular o rotacional de F, que é o rotacional do gradiente de f, vai dar 0.

Passo 4

Vamos calcular o rotacional de F:
nabla times F = nabla times nabla f = 0
Então, sabemos que o rotacional de F é o vetor nulo.

Passo 5

Agora, vamos usar o teorema de Stokes, que relaciona a circulação de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície que tem a curva como fronteira. A fórmula do teorema de Stokes é:
ointpartial S F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot dS

Passo 6

Substituindo o rotacional de F que calculamos:
ointpartial S F cdot dr = integral duplaS 0 cdot dS = 0
Isso mostra que a circulação de F ao redor de qualquer curva fechada ∂S é zero.

Resposta

Portanto, a circulação do campo F = nabla(x y^2 z^3) ao redor da borda de qualquer superfície lisa orientável no espaço é zero.

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