Circulação zero Utilize a identidade
(Equação 8 no texto) e o teorema de Stokes para mostrar que as circulações dos campos a seguir ao redor da borda de qualquer superfície lisa orientável no espaço são zero.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a circulação do campo F ao redor da borda de qualquer superfície lisa orientável no espaço é zero. Vamos usar a identidade
e o teorema de Stokes para isso. Basicamente, vamos precisar entender um pouco sobre campos vetoriais, rotacional e o teorema de Stokes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o campo F dado:
. Aqui, F é o gradiente de uma função escalar
. O gradiente de uma função nos dá um campo vetorial que aponta na direção de maior aumento da função.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a identidade que foi mencionada:
. Essa identidade nos diz que o rotacional do gradiente de qualquer função escalar é sempre zero. Ou seja, se a gente calcular o rotacional de F, que é o rotacional do gradiente de
, vai dar 0.
Passo 4
Vamos calcular o rotacional de F:
Então, sabemos que o rotacional de F é o vetor nulo.
Passo 5
Agora, vamos usar o teorema de Stokes, que relaciona a circulação de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície que tem a curva como fronteira. A fórmula do teorema de Stokes é:
Passo 6
Substituindo o rotacional de F que calculamos:
Isso mostra que a circulação de F ao redor de qualquer curva fechada ∂S é zero.
Resposta
Portanto, a circulação do campo
ao redor da borda de qualquer superfície lisa orientável no espaço é zero.