Dois fios, um de cobre e outro de ferro têm a mesma resistência. O diâmetro do fio de cobre é de 1.2 mm . Qual deve ser o diâmetro do fio de ferro, se ambos os fios têm o mesmo comprimento?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois fios, um de cobre e outro de ferro, que têm a mesma resistência elétrica. O diâmetro do fio de cobre é de 1,2 mm, e queremos descobrir qual deve ser o diâmetro do fio de ferro, sabendo que ambos têm o mesmo comprimento. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da resistência elétrica dos fios e entender como o diâmetro influencia nessa resistência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da resistência elétrica de um fio:
R = rho cdot LA
Onde:
  • $ R $ é a resistência,
  • $ \rho $ é a resistividade do material,
  • $ L $ é o comprimento do fio,
  • $ A $ é a área da seção transversal do fio.

Passo 3

Como os dois fios têm a mesma resistência $ R $ e o mesmo comprimento $ L $, podemos igualar as fórmulas das resistências dos dois materiais:
R
O comprimento $ L $ se cancela, então:
L

Passo 4

Agora, vamos isolar a área da seção transversal do ferro $ A_{ferro} $:
Aferro
Sabemos que a área da seção transversal de um fio é:
Aferro = Acobre cdot rhoferrorhocobre
Então, podemos substituir:
A = pi cdot d^24

Passo 5

Simplificando as expressões, o $ \frac{\pi}{4} $ se cancela:
pi4
Para encontrar o diâmetro do ferro $ d_{ferro} $, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
dferro^2 = dcobre^2 cdot rhoferrorhocobre

Passo 6

Agora, precisamos dos valores das resistividades. Aproximadamente:
  • Resistividade do cobre $ \rho_{cobre} = 1,68 \times 10^{-8} , \Omega \cdot m $
  • Resistividade do ferro $ \rho_{ferro} = 9,7 \times 10^{-8} , \Omega \cdot m $
Substituindo esses valores:
rhocobre = 1,68 times 10^-8 , Omega cdot m
rhoferro = 9,7 times 10^-8 , Omega cdot m

Resposta

O diâmetro do fio de ferro deve ser aproximadamente 2,9 mm.

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